Đáp án A

SM =  M B tan   60 0   =  3 6

IG = x  ⇒ JM = IG  ⇒ SI =  1 12 + ( 3 6 + x ) 2 , IA =  1 3 + x 2

SI = IA  ⇒ x 2   + 1 4 = ( x 2   +   3 3 x   +   1 2 )  ⇒ x   =   1 2 3   ⇒ R = 5 12

V =  4 3 πR 3   =  5 15 π 54

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên:

$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$, $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB\cos120^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên:

$1 = 2SA^2 - 2SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)= 2SA^2 + SA^2 = 3SA^2\Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM^2 = SA^2 - AM^2= \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{12}\Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.

Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2}= \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}= \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Suy ra:$SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3= \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp: $OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên áp dụng định lý cosin: $AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 SA \cdot SB \cos 120^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên: $1 = 2 SA^2 - 2 SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3 SA^2 \Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$: $SM^2 = SA^2 - AM^2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.

Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2 = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.

Thể tích khối cầu: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3 = \dfrac{5 \cdot 15 \pi}{54}$.

Vậy $V = \dfrac{5 \cdot 15 \pi}{54}$. Chọn đáp án A.

Tam giác SAB đều \(\Rightarrow SH\perp AB\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)\\\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi N là trung điểm SC \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SCD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||CD\\MN=\dfrac{1}{2}CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||AH\\MN=AH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AMNH\) là hbh

\(\Rightarrow AM||HN\Rightarrow AM||\left(SHC\right)\)

\(\Rightarrow d\left(AM;SC\right)=d\left(AM;\left(SHC\right)\right)=d\left(A;\left(SHC\right)\right)\)

Mặt khác H là trung điểm AB \(\Rightarrow d\left(A;\left(SHC\right)\right)=d\left(B;\left(SHC\right)\right)\)

Từ B kẻ \(BE\perp HC\Rightarrow BE\perp\left(SHC\right)\) (do \(SH\perp BE\))

\(\Rightarrow BE=d\left(B;\left(SHC\right)\right)\)

Hệ thức lượng: \(BE=\dfrac{BH.BC}{CH}=\dfrac{BH.BC}{\sqrt{BH^2+BC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

b.

Từ D kẻ \(DF\perp HC\Rightarrow DF\perp\left(SHC\right)\) (do \(SH\perp DF\))

\(\Rightarrow DF=d\left(D;\left(SHC\right)\right)\)

\(DF=DC.cos\widehat{FDC}=DC.cos\widehat{BCH}=\dfrac{DC.BC}{CH}=\dfrac{DC.BC}{\sqrt{BC^2+BH^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

Đáp án A

Xét ∆SAB, ta có: SA = SB =  a 2 2

=> SH =  a 2

Vậy 

Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}= \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3}{8}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{8}$.

Đáp án B

Vì tam giác SAB cân tại S nên hạ SH ⊥ AB => H là trung điểm của AB.

Vì 

Tam giác SAB vuông cân tại S nên SA = SB =  a 2  

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:

$SA = SB$ và $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì: $SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{12}$.

Chọn đáp án A.

Chọn đáp án D

+ Gọi  H là trung điểm SB. Do tam giác SAB vuông tại A, SBC vuông tại C suy ta HA = HB = HS = HC

Suy ra H là tâm mặt cầu.

+ Gọi I là hình chiếu của H lên (ABC). Do HA = HB = HC , suy ra IA = IB = IC 

Suy ra I là trung điểm AC. Gọi P là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông cân, suy ra

Áp dụng hệ thức

\

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0), A(a\sqrt{3},0,0), C(0,a\sqrt{3},0)$

Vì $\angle SAB = 90^\circ$ và $\angle SCB = 90^\circ$ ⇒

$SA ⟂ AB$, $SC ⟂ BC$

Giả sử $S = (x,y,z)$

Điều kiện:

$\vec{SA} \cdot \vec{AB} = 0$ ⇒ $(x - a\sqrt{3}, y, z) \cdot (a\sqrt{3},0,0) = 0$

$\Rightarrow (x - a\sqrt{3}) a\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = a\sqrt{3}$

$\vec{SC} \cdot \vec{CB} = 0$ ⇒ $(x, y - a\sqrt{3}, z) \cdot (0,-a\sqrt{3},0) = 0$

$\Rightarrow (y - a\sqrt{3})(-a\sqrt{3}) = 0 \Rightarrow y = a\sqrt{3}$

⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, z)$

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = (-a\sqrt{3}, -a\sqrt{3}, -z)$

$\vec{SC} = C - S = (-a\sqrt{3}, 0, -z)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (a\sqrt{3} z, 0, -3a^2)$

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2 z^2 + 9a^4} = a \sqrt{3z^2 + 9a^2}$

$\vec{AS} = A - S = (0, -a\sqrt{3}, -z)$

Khoảng cách:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-3a^2)(-z)|}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a^2 z}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}}$

Theo đề:

$\dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}} = a\sqrt{2}$

Bình phương:

$\dfrac{9 a^2 z^2}{3z^2 + 9a^2} = 2a^2$

$\Rightarrow 9z^2 = 2(3z^2 + 9a^2)$

$\Rightarrow 9z^2 = 6z^2 + 18a^2$

$\Rightarrow 3z^2 = 18a^2 \Rightarrow z^2 = 6a^2 \Rightarrow z = a\sqrt{6}$

⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, a\sqrt{6})$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là khoảng cách từ tâm $O$ đến các đỉnh.

Do tính đối xứng, tâm $O$ là trung điểm của đoạn nối hai điểm xa nhất, ở đây xét $SC$ và $AB$:

$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + BC^2}}{2}$

$SA^2 = (0)^2 + (a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{6})^2 = 3a^2 + 6a^2 = 9a^2$

⇒ $SA = 3a$

$BC = a\sqrt{3}$

$R = \dfrac{\sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{9a^2 + 3a^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{12a^2}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi (a\sqrt{3})^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 3\sqrt{3} a^3 = 4\pi a^3 \sqrt{3}$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp là:

$V = 4\pi a^3 \sqrt{3}$