Đáp án D

Đáp án C

Từ (1), (2) => HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Tam giác SHA vuông tại A có đường cao HK nên  1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 AH 2 = 4 3 a 2 + 4 a 2 = 16 3 a 2 .

⇒ HK = 3 a 4 .

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a,0,0)$

Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt mặt phẳng $(SBC)$ là mặt phẳng $Oxy$, khi đó:

$S\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ (tam giác đều $SBC$ cạnh $a$)

Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với $(SBC)$ theo giao tuyến $BC$ nên đặt:

$A(0,0,h)$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

$\vec{AB} = (0,0,-h),\ \vec{AC} = (a,0,-h)$

$\Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

⇒ $A(0,0,a)$

Xét hai đường thẳng:

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{BA}, \vec{SA}, \vec{BC}]|}{|\vec{SA} \times \vec{BC}|}$

Tính:

$\vec{SA} \times \vec{BC} = \left(0,\ -a^2,\ -\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)$

$|\vec{SA} \times \vec{BC}| = a^2 \sqrt{1 + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{a^2\sqrt{7}}{2}$

$[\vec{BA}, \vec{SA}, \vec{BC}] = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

$d = \dfrac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Đáp án A.

Đáp án A.

Ta có   S C H ^ = 60 ° và

H C = a 7 3 ; S H = H C tan S C H ^ = a 21 3

Từ A kẻ tia A x / / C B  (như hình vẽ). Khi đó B C / / S A x  và do B A = 3 2 H A  nên

d B C , S A = d B C , S A x = d B , S A x = 3 2 d H , S A x

Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN.

Do A N ⊥ S H N  và H K ⊥ S N  nên H K ⊥ S A N . Khi đó d B C , S A = 3 2 H K .

Ta có

A H = 2 a 3 ; H N = A H sin N A H ^ = a 3 3 .

Suy ra H K = H N . H S H N 2 + H S 2 = a 42 12 . Vậy d B C , S A = a 42 8 .

Đáp án C

Ta có  S A ⊥ A B C ⇒ A B  là hình chiếu của SB lên(ABC) .

Dựng hình bình hành ACBD.

Ta có

Do tam giác ABC đều

Ta có:

Trong (SAM) kẻ

Xét tam giác vuông SAB ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có:

Chọn A.

Đáp án C

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật

Tam giác SAD vuông cân tại A, E là trung điểm SD nên