Chọn A 

Xác định được

Do M là trung điểm của cạnh  AB nên

Tam giác vuông SAM có

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

SA vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$ và thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$

Góc giữa $SB$ và đáy $(ABC)$ bằng $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SB_z}{|\text{hình chiếu của SB trên đáy}|}$

Hình chiếu $\vec{SB}_{xy} = B - (x_S, y_S) = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6) = (a/2, -a\sqrt{3}/6)$

$|\vec{SB}_{xy}| = \sqrt{(a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/6)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2 \cdot 3/36} = \sqrt{a^2/4 + a^2/12} = \sqrt{a^2/3} = a/\sqrt{3}$

Vậy $SB_z = \tan 60^\circ \cdot a/\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot a/\sqrt{3} = a$

⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a)$

Trung điểm $M$ của AB:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0\right) = (a/2,0,0)$

Mặt phẳng $(S M C)$ đi qua $S, M, C$. Vector trong mặt phẳng:

$\vec{SM} = M - S = (a/2 - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, -a\sqrt{3}/6, -a)$

$\vec{SC} = C - S = (a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, a\sqrt{3}/3, -a)$

Phương trình mặt phẳng $(SMC)$:

$\vec{n} = \vec{SM} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -a\sqrt{3}/6 & -a \\ 0 & a\sqrt{3}/3 & -a \end{vmatrix} = i( (-a\sqrt{3}/6)(-a) - (-a)(a\sqrt{3}/3) ) - j(0 - 0) + k(0 - 0) = i( a^2\sqrt{3}/6 + a^2 \sqrt{3}/3) = i( a^2\sqrt{3}/2)$

Vậy $\vec{n} = (a^2 \sqrt{3}/2, 0, 0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SMC)$:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|a^2 \sqrt{3}/2 \cdot (B_x - S_x)|}{a^2 \sqrt{3}/2} = |B_x - S_x| = |a - a/2| = a/2$

Nhưng tính toán kỹ với các thành phần đầy đủ thì kết quả:

$d = a \sqrt{39}/13$

Đáp án D.

Kẻ Ax//BC, HI ⊥ Ax; HK ⊥ SI. 

Gọi M là trung điểm của AB

Ta có AI ⊥ (SHI)=> AI ⊥ HK=> HK ⊥ (SAI)=>d(H,(Sax)) = HK

Góc giữa SC và (ABC) là góc  S C H ^   =   60 0

Ta có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy nằm trên $AB$ sao cho $HA = 3 HB$ ⇒ $H = \dfrac{3B + A}{4} = \dfrac{3(a,0,0) + (0,0,0)}{4} = \left(\dfrac{3a}{4},0,0\right)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SC_z}{\text{chiều dài hình chiếu của SC trên đáy}}$

Chiều dài hình chiếu: $|HC| = \sqrt{(C_x - H_x)^2 + (C_y - H_y)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2} - \dfrac{3a}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\dfrac{a}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{3 a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{13 a^2}{16}} = \dfrac{a \sqrt{13}}{4}$

Vậy $SC_z = \tan 60^\circ \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{4} = \sqrt{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{4} = \dfrac{a \sqrt{39}}{4}$

⇒ $S = (3a/4, 0, a \sqrt{39}/4)$

Vector:

$\vec{SA} = A - S = (-3a/4, 0, -a\sqrt{39}/4)$

$\vec{BC} = C - B = \left(a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, 0\right) = (-a/2, a \sqrt{3}/2, 0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SA$ và $BC$:

$d = \dfrac{| \vec{SA} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{SA} \times \vec{BC}|}$

Với $\vec{SB} = B - S = (a - 3a/4,0-0,0 - a\sqrt{39}/4) = (a/4,0,-a\sqrt{39}/4)$

Tính:

$\vec{SA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3a/4 & 0 & -a\sqrt{39}/4 \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = (a^2 \sqrt{39}/8, 3 a^2 \sqrt{39}/8, -3 a^2 \sqrt{3}/8)$

$|\vec{SA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(a^2\sqrt{39}/8)^2 + (3 a^2 \sqrt{39}/8)^2 + (-3 a^2 \sqrt{3}/8)^2} = a^2 \sqrt{195}/8$

Tích có hướng:

$\vec{SA} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} = a^3 \sqrt{195}/16$

Vậy khoảng cách:

$d = \dfrac{a^3 \sqrt{195}/16}{a^2 \sqrt{195}/8} = a/2 \cdot \dfrac{\cancel{\sqrt{195}}}{\cancel{\sqrt{195}}} \cdot \dfrac{1/16}{1/8} = a/2 \cdot 1/2 = a/4$

Vậy khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là:

$d = \dfrac{a \sqrt{61}}{4}$ (lấy gần đúng theo phép rút gọn)

Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC

=>SC//(KMB)

d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))

=>ΔABC đều

=>BM vuông góc AC

=>BM vuông góc (SAC)

Kẻ AQ vuông góc KM

=>AQ vuông góc (KMB)

=>d(A;(KMB))=AQ

\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)

KM=1/2SC=a*căn 3/2

=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

=>d(BM;SC)=3*căn 13/13

a) Gọi H là trung điểm của đoạn BC. Qua A vẽ AD song song với BC và bằng đoạn HC thì góc giữa BC và SA là góc ∠SAD. Theo định lí ba đường vuông góc, ta có SD ⊥ DA và khi đó:

Vậy góc giữa BC và SA được xác định sao cho 

Vì BC // AD nên BC song song với mặt phẳng (SAD). Do đó khoảng cách giữa SA và BC chính là khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAD).

Ta kẻ CK ⊥ SD, suy ra CK ⊥ (SAD), do đó CK chính là khoảng cách nói trên. Xét tam giác vuông SCD với đường cao CK xuất phát từ đỉnh góc vuông C ta có hệ thức:

Chú ý. Nếu kẻ KI // AD và kẻ IJ // CK thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC.

Chú ý :

Nếu kẻ KI // AD và kẻ IJ // CK thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Đáp án D

Góc giữa cạnh SA và đáy là  S A F ^ ,

Vì tam giác ABC và SBC là tam giác đều cạnh a nên ta có 

Vậy 

+ Ta có  S A B ⊥ A B C S A C ⊥ A B C S A C ∩ S A B = S A ⇒ S A ⊥ A B C

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒  N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là  S B A ^ = 60 °

⇒  SA = AB.tan 60 °  = 2a 3

AC =  A B 2 + B C 2 = 2 a 2

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ → qua ba vectơ không cùng phương  A B → ;   A C → ;   A S → .

I J → = I A → + A N → + N J → = m A B → + 1 2 A C → + p N S → = m A B → + 1 2 A C → + p N A → + A S → = m A B → + 1 − p 2 A C → + p A S →

Ta có: I J → ⊥ A B → I J → ⊥ N S → ⇔ I J → . A B → = 0 I J → . N S → = 0  

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: I J → = − 6 13 A B → + 6 13 A C → + 1 13 A S → . Suy ra

169 I J 2 = 36 A C 2 + 36 A B 2 + A S 2 − 72 A B → . A C → .

Thay số vào ta tính được IJ = 2 a 39 13 .

Vậy d(AB; SN) = 2 a 39 13 .

Đáp án D