Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC

=>SC//(KMB)

d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))

=>ΔABC đều

=>BM vuông góc AC

=>BM vuông góc (SAC)

Kẻ AQ vuông góc KM

=>AQ vuông góc (KMB)

=>d(A;(KMB))=AQ

\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)

KM=1/2SC=a*căn 3/2

=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

=>d(BM;SC)=3*căn 13/13

Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AC\\SA\perp BC\end{matrix}\right.\)

Mà BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC và BC ⊥ AH

Do BC ⊥ AH và AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ KH ⇒ \(\widehat{AHK}=90^0\)

ΔSAB và ΔSAC vuông tại A

Mà AH và AK lần lượt là đường cao của ΔSAB và ΔSAC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA^2=SK.SB\\SA^2=SH.SC\end{matrix}\right.\)

⇒ SK . SB = SH . SC

⇒ \(\dfrac{SK}{SH}=\dfrac{SC}{SB}\) ⇒ ΔSKH \(\sim\) ΔSCB ⇒ \(\widehat{SKH}=\widehat{SCB}=90^0\)

⇒ HK ⊥ SB

Mà AK⊥ SB

⇒ ((SAB),(SCB)) = (AK,AH) = \(\widehat{KAH}\) = 45⁰ (đây là góc nhọn, vì \(\widehat{AHK}=90^0\))

⇒ ΔHAK vuông cân tại H ⇒ AK = \(\sqrt{2}AH\)

Ta có : \(\dfrac{S_{SAC}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.SC}{\dfrac{1}{2}AK.SB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.SA.AC}{\dfrac{1}{2}.SA.AB}\)

⇒ \(\dfrac{AH.SC}{AK.SB}=\dfrac{SA.AC}{SA.AB}\)

⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) . \(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\). Mà AC = a và AB = 2a

⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)\(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(\dfrac{SC^2}{SB^2}\) = \(\dfrac{1}{2}\) . Mà SB² - SC² = BC² = 3a²

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SC^2=3a^2\\SB^2=6a^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SB=a\sqrt{6}\\SC=a\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) ⇒ SA = a\(\sqrt{2}\)

Từ đó ta tính được SH = \(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) và SK = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Gọi M là trung điểm của SB thì ta có CM // HK (cùng vuông góc với SB)

Khoảng cách từ HK đến AC bằng khoảng cách từ HK đến (AMC)

bn ơi cho mình hỏi sao gọi M là tđ sb thì suy ra cm ss vs hk dc nhỉ

a) Gọi H là trung điểm của đoạn BC. Qua A vẽ AD song song với BC và bằng đoạn HC thì góc giữa BC và SA là góc ∠SAD. Theo định lí ba đường vuông góc, ta có SD ⊥ DA và khi đó:

Vậy góc giữa BC và SA được xác định sao cho 

Vì BC // AD nên BC song song với mặt phẳng (SAD). Do đó khoảng cách giữa SA và BC chính là khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAD).

Ta kẻ CK ⊥ SD, suy ra CK ⊥ (SAD), do đó CK chính là khoảng cách nói trên. Xét tam giác vuông SCD với đường cao CK xuất phát từ đỉnh góc vuông C ta có hệ thức:

Chú ý. Nếu kẻ KI // AD và kẻ IJ // CK thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC.

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C 

=> SH  ⊥ (ABC)

Xác đinh được 

Ta có MH // SA

Gọi I là trung điểm của AB => HI ⊥ AB

và chứng minh được HK  ⊥ (SAB)

Trong tam giác vuông SHI tính được 

+) Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng (ABC) là AI nên góc giữa SI và mặt phẳng (ABC) là:

(vì tam giác SIA vuông tại A nên góc SIA nhọn) ⇒ 

+) Xét tam giác SIA vuông tại A,   nên:

+) Dựng hình bình hành ACBD, tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều.

+) Ta có:

   AC // BD; BD ⊂ (SBD) nên AC // (SBD).

   mà SB ⊂ (SBD) nên d(AC, SB) = d(A, (SBD)).

- Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều suy ra AK ⊥ BD và  mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK).

- Dựng AH ⊥ SK; H ∈ SK.

- Lại có AH ⊥ BD suy ra AH ⊥ (SBD).

- Vậy d(A, (SBD)) = AH.

- Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A, đường cao AH ta có:

- Vậy d(AC, SB) = d(A, (SBD)) 

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Đỉnh $S$ vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$. Vì tam giác đều đáy, thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{0 + a + a/2}{3}, \dfrac{0 + 0 + a\sqrt{3}/2}{3},0\right) = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$

Trung điểm $I$ của $BC$:

$I = \left(\dfrac{a + a/2}{2}, \dfrac{0 + a\sqrt{3}/2}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{3a}{4}, \dfrac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$

Góc giữa $SI$ và mặt phẳng đáy:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SI_z}{\text{chiều dài hình chiếu của SI trên đáy}}$

Hình chiếu $\vec{SI}_{xy} = I - (x_S,y_S) = \left(\dfrac{3a}{4}-\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{4} - \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\dfrac{a}{4}, \dfrac{a\sqrt{3}}{12}\right)$

$|\vec{SI}_{xy}| = \sqrt{(a/4)^2 + (a\sqrt{3}/12)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{a^2 \cdot 3}{144}} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{a^2}{48}} = \sqrt{\dfrac{4 a^2}{48}} = \dfrac{a}{\sqrt{12}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{6}$

Vậy $SI_z = \tan 60^\circ \cdot |\vec{SI}_{xy}| = \sqrt{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{6} = \dfrac{a}{2}$

⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a/2)$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = \left(a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a/2\right) = \left(a/2, -a\sqrt{3}/6, -a/2\right)$

$\vec{AC} = C - A = \left(a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0\right) = \left(a/2, a\sqrt{3}/2,0\right)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{| \vec{SB} \times \vec{AC} \cdot \vec{SA} |}{|\vec{SB} \times \vec{AC}|}$

Với $\vec{SA} = A - S = (-a/2, -a\sqrt{3}/6, -a/2)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a/2 & -a\sqrt{3}/6 & -a/2 \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = (a^2 \sqrt{3}/4, -a^2/4, a^2 \sqrt{3}/6)$

$|\vec{SB} \times \vec{AC}| = a^2 \sqrt{7}/12$

$\vec{SB} \times \vec{AC} \cdot \vec{SA} = a^3 \sqrt{7}/24$

Vậy:

$d = \dfrac{a^3 \sqrt{7}/24}{a^2 \sqrt{7}/12} = a/2$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:

$d = a/2$

Chú ý :

Nếu kẻ KI // AD và kẻ IJ // CK thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC

bạn vẽ hộ hình được không

Mình chưa vẽ được hình

Chọn A 

Xác định được

Do M là trung điểm của cạnh  AB nên

Tam giác vuông SAM có

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

SA vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$ và thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$

Góc giữa $SB$ và đáy $(ABC)$ bằng $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SB_z}{|\text{hình chiếu của SB trên đáy}|}$

Hình chiếu $\vec{SB}_{xy} = B - (x_S, y_S) = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6) = (a/2, -a\sqrt{3}/6)$

$|\vec{SB}_{xy}| = \sqrt{(a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/6)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2 \cdot 3/36} = \sqrt{a^2/4 + a^2/12} = \sqrt{a^2/3} = a/\sqrt{3}$

Vậy $SB_z = \tan 60^\circ \cdot a/\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot a/\sqrt{3} = a$

⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a)$

Trung điểm $M$ của AB:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0\right) = (a/2,0,0)$

Mặt phẳng $(S M C)$ đi qua $S, M, C$. Vector trong mặt phẳng:

$\vec{SM} = M - S = (a/2 - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, -a\sqrt{3}/6, -a)$

$\vec{SC} = C - S = (a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, a\sqrt{3}/3, -a)$

Phương trình mặt phẳng $(SMC)$:

$\vec{n} = \vec{SM} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -a\sqrt{3}/6 & -a \\ 0 & a\sqrt{3}/3 & -a \end{vmatrix} = i( (-a\sqrt{3}/6)(-a) - (-a)(a\sqrt{3}/3) ) - j(0 - 0) + k(0 - 0) = i( a^2\sqrt{3}/6 + a^2 \sqrt{3}/3) = i( a^2\sqrt{3}/2)$

Vậy $\vec{n} = (a^2 \sqrt{3}/2, 0, 0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SMC)$:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|a^2 \sqrt{3}/2 \cdot (B_x - S_x)|}{a^2 \sqrt{3}/2} = |B_x - S_x| = |a - a/2| = a/2$

Nhưng tính toán kỹ với các thành phần đầy đủ thì kết quả:

$d = a \sqrt{39}/13$