Chọn C.

Gọi H là trung điểm của AB 

Ta có:  và 

Vậy: 

Vì $(SAB)$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $SA=SB=AB=a$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

Vì tam giác $SAB$ đều nên $SH\perp AB$ và $SH=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Do mặt phẳng $(SAB)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

Suy ra $SH$ chính là chiều cao của hình chóp.

Vì đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ và theo giả thiết chuẩn của dạng này ta có:

$AB=AC=a$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ với cạnh đáy $BC=a$
nên thực chất $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$.

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac13\cdot\dfrac{3a^3}{8} =\dfrac{a^3}{8}$

Vậy $V=\dfrac{a^3}{8}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$AB = a,\quad BC = a\sqrt3$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $ABC$:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = a\sqrt2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$SA = AB = SB = a$.

Mặt phẳng $(SAB) \perp (ABC)$ và giao tuyến là $AB$ nên:

$SA \perp (ABC)$.

Vậy $SA$ chính là chiều cao của khối chóp.

Diện tích đáy tam giác $ABC$ là:

$S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC$

$= \dfrac12 \cdot a \cdot a\sqrt2 = \dfrac{a^2\sqrt2}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt2}{2} \cdot a$

$= \dfrac{a^3\sqrt2}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt2}{6}$

B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Đáp án đúng : C

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp:

$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB \cos120^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên: $1 = 2SA^2 - 2SA^2\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3SA^2 \Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$:

$SM^2 = SA^2 - AM^2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.

Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2 = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3 = \dfrac{5\sqrt{15}\pi}{54}$.

Vậy $V = \dfrac{5\sqrt{15}\pi}{54}$.

Đáp án C

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân nên:

$SA = SB$ và $\widehat{ASB} = 90^\circ$.

Suy ra: $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{2}= \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = 3$, $BC = 3\sqrt3$ nên:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{27 - 9} = 3\sqrt2$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3\sqrt2 = \dfrac{9\sqrt2}{2}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $3$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = 3$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $H$ của $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{3}{2}$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SH = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 3 = \dfrac{3\sqrt3}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (ABC)$, do đó $SH$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{9\sqrt2}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt3}{2}= \dfrac{27\sqrt6}{12}= \dfrac{9\sqrt6}{4}$.

Vậy $V = \dfrac{9\sqrt6}{4}$.

Đáp án D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = 3$, $BC = 3\sqrt3$ nên:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{27 - 9} = 3\sqrt2$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3\sqrt2 = \dfrac{9\sqrt2}{2}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $3$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = 3$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $H$ của $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{3}{2}$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SH = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 3 = \dfrac{3\sqrt3}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (ABC)$, do đó $SH$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{9\sqrt2}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt3}{2}= \dfrac{27\sqrt6}{12}= \dfrac{9\sqrt6}{4}$.

Vậy $V = \dfrac{9\sqrt6}{4}$.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên: $BC=a\sqrt2$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12 a\cdot a =\dfrac{a^2}{2}$

Do mặt phẳng $(SBC)\perp(ABC)$ và $SBC$ vuông cân tại $S$ nên: $SB=SC$ và $SB\perp SC$

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$, nên đường cao từ $S$ xuống $BC$ sẽ vuông góc với mặt đáy.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ nên:

$SH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Mà $SH\perp(ABC)$ nên $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH$$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}$
$=\dfrac{a^3}{6\sqrt2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Vậy $V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$