Đáp án D

Ta có H là trung điểm của BC, H là hình chiếu của S trên mặt phẳng  (ABC) nên HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC).

Suy ra S A , A B C ^ = S A , H A ^ = S A H ^ .

Lại có   Δ A B C = Δ S B C (đều là các tam giác đều cạnh a) nên A H = S H ⇒ Δ S H A  vuông cân tại H.

Vậy  S A , A B C ^ = S A H ^ = 45 °   .

Đáp án B

Vì hai tam giác ABC và SBC đều và có chung cạnh BC nên bằng nhau ⇒ A H = S H .   

Mà Δ H S A  vuông tại H nên vuông cân

⇒ S A H ^ = 45 °

Đáp án là D

Gọi H  là trung điểm B C .  Ta có A H  là hình chiếu vuông góc của S A lên mặt phẳng  A B C .

Khi đó S A ; A B C ^ = S A ; A H ^ = S A H ^  

Ta có S H = A H S H ⊥ A H ⇒ Δ S A H vuông cân tại - H ⇒ S A H ^ = 45 0 .

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AC = 2\sqrt3$.

Suy ra: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2} = 2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0),\ B(2,0),\ C(0,2\sqrt3)$ thì $M\left(1,\sqrt3\right)$.

Khi đó: $AM = \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = 2$.

Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AM}$

$1 = \dfrac{SH}{2} \Rightarrow SH = 2$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot 2\sqrt3 \cdot 2 = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Chọn đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AC = 2\sqrt3$.

Suy ra: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2} = 2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0),\ B(2,0),\ C(0,2\sqrt3)$ thì $M\left(1,\sqrt3\right)$.

Khi đó: $AM = \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = 2$.

Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AM}$

$1 = \dfrac{SH}{2} \Rightarrow SH = 2$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot 2\sqrt3 \cdot 2 = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó trong tam giác đều $ABC$:

$AM \perp BC$

và:

$AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với $BC$ trong hai mặt phẳng đó, tức là:

$\widehat{SMA}=60^\circ$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$

$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$

$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Vậy: $V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án A.

Đáp án A.

Ta có   S C H ^ = 60 ° và

H C = a 7 3 ; S H = H C tan S C H ^ = a 21 3

Từ A kẻ tia A x / / C B  (như hình vẽ). Khi đó B C / / S A x  và do B A = 3 2 H A  nên

d B C , S A = d B C , S A x = d B , S A x = 3 2 d H , S A x

Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN.

Do A N ⊥ S H N  và H K ⊥ S N  nên H K ⊥ S A N . Khi đó d B C , S A = 3 2 H K .

Ta có

A H = 2 a 3 ; H N = A H sin N A H ^ = a 3 3 .

Suy ra H K = H N . H S H N 2 + H S 2 = a 42 12 . Vậy d B C , S A = a 42 8 .

Đáp án C