Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a có \(\angle \left(\right. S C , \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right) = 45^{\circ}\).
Nghĩa là hình chiếu của \(S\) xuống đáy nằm trên đường chéo \(B D\).
Xét tam giác cân \(S A B\), do tính đối xứng ⇒ khoảng cách từ \(A\) đến \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chính bằng nửa cạnh hình vuông:
\(d\left(\right.A,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{2}\)
Với \(M\) là trung điểm \(S A\), khoảng cách giảm đi một nửa:
\(d\left(\right.M,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{4}\)
Đáp số
\(d \left(\right. A , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{2}\)
\(d \left(\right. M , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{4}\)
\(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AM\perp BC\) (1)
Mà \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\)
b/ \(BC\perp\left(SAM\right)\) mà BC là giao tuyến của (SBC) và (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)
\(AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=2\)
\(\Rightarrow\widehat{SMA}\approx63^026'\)
c/ Từ A kẻ \(AH\perp SM\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AH=\frac{AM.SA}{\sqrt{AM^2+SA^2}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)
Chọn A
Gọi M là trung điểm BC
Gọi K là hình chiếu của A trên SM , suy ra AK ⊥ SM. (1)
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$
SA vuông góc với đáy và $SA = a \sqrt{3}$ ⇒ $S = (0,0,a\sqrt{3})$
Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB} = B - S = (a - 0, 0 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a, 0, -a\sqrt{3})$
$\vec{SC} = C - S = (a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a/2, a\sqrt{3}/2, -a\sqrt{3})$
Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & -a\sqrt{3} \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} = i(0 \cdot (-a\sqrt{3}) - (-a\sqrt{3})(a\sqrt{3}/2)) - j(a \cdot (-a\sqrt{3}) - (-a\sqrt{3})(a/2)) + k(a \cdot a\sqrt{3}/2 - 0 \cdot a/2)$
$= i(0 + 3a^2/2) - j(-a^2\sqrt{3} + a^2 \sqrt{3}/2) + k(a^2\sqrt{3}/2 - 0) = (3 a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2)$
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$:
$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AA} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{| \vec{n} \cdot (A - A) |}{|\vec{n}|} = \dfrac{| \vec{n} \cdot (0,0,0 - S) |}{|\vec{n}|} = \dfrac{| \vec{n} \cdot (-S) |}{|\vec{n}|}$
$-S = (0,0,-a\sqrt{3})$
$\vec{n} \cdot (-S) = 3a^2/2 \cdot 0 + a^2 \sqrt{3}/2 \cdot 0 + a^2 \sqrt{3}/2 \cdot (-a\sqrt{3}) = -3 a^3/2$
$|\vec{n}| = \sqrt{(3a^2/2)^2 + (a^2\sqrt{3}/2)^2 + (a^2 \sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9 a^4 /4 + 3 a^4/4 + 3 a^4/4} = \sqrt{15 a^4 /4} = a^2 \sqrt{15}/2$
Vậy: $d = \dfrac{3 a^3 /2}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{3 a}{\sqrt{15}} = \dfrac{a \sqrt{15}}{5}$