Đáp án A

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là

R = h 2 4 + S d a y 2  

trong đó h là chiều cao của khối chóp và R_day là bán kính đường ròn ngoại tiếp đáy.

Cách giải:

Chọn A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC = 2a\sqrt2$ nên:

$AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = 2a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = a^3 \Rightarrow \dfrac13 \cdot 2a^2 \cdot SH = a^3 \Rightarrow SH = \dfrac{3a}{2}$.

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (SBC)$.

Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì:

$BH = CH = \dfrac{BC}{2} = a\sqrt2$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = a\sqrt2$.

=> $SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + (a\sqrt2)^2 = \dfrac{9a^2}{4} + 2a^2 = \dfrac{17a^2}{4}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó lên $(SBC)$ nên:

$\sin \alpha = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{17}}$.

=> $\alpha \approx 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$.

Chọn đáp án C.

Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên

Chọn C.

Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Theo giả thiết: $d=3$.

Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:

$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.

Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Mặt khác: $SA\perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:

$\alpha=\widehat{SMA}$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.

Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.

Thể tích:

$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.

Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:

$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.

Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.

Thế vào biểu thức thể tích:

$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$

$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.

Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.

Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.

Xét: $f(t)=t-t^3$.

$f'(t)=1-3t^2$.

$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.

Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án A

Dễ thấy ( S C , ( A B C ) ) ^  =  SAC (vì SA ⊥ (ABC))

ð SA = AC.tan60° = a 3  

Ta có:

V S A B C = 1 3 . S A B C . a 3 = 1 3 . 1 2 . a . a . a 3 = a 3 3 6

Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên giao tuyến là $BC$ và:

$SA = SB = a \Rightarrow S$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $AB$

Đặt hệ tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$)

Vì $SA = SB = a$ ⇒ $S$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$ ⇒ $x = \dfrac{a}{2}$

Đặt: $S\left(\dfrac{a}{2},\ y,\ z\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ ⇒ pháp tuyến $(SBC)$ vuông góc $(0,0,1)$

⇒ $\vec{SB} \times \vec{SC}$ không có thành phần $z$

Sau khi tính toán suy ra:

$y = \dfrac{a}{2}$

Từ $SA = a$:

$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2 = a^2$

$\Rightarrow z^2 = \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow z = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Suy ra:

$S\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do tính đối xứng:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ t\right)$

Vì $R = a$ nên:

$OA^2 = a^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + t^2 = a^2$

$\Rightarrow t^2 = \dfrac{a^2}{2}$

Lại có:

$OS^2 = a^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} - t\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$

⇒ suy ra $t = 0$

Vậy tâm:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ 0\right)$

Tính $SC$:

$\vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ -\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$

$SC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{2} = a^2$

Suy ra:

$\boxed{SC = a}$

Chọn C.

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC ta có:  A H ⊥ B C     Do  A B C ⊥ S B C ⇒ A H ⊥ S B C

Đặt  A H = x ⇒ H C = a 2 − x 2 = H B = S H ⇒ Δ S B C

 vuông tại S (do đường trùng tuyến bằng  cạnh đối diện). Suy ra B C = S B 2 + S C 2 = a 3 .  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ A B C ⇒ O ∈ A H ⇒ O A = O B = O C = OS   .Ta có:  R = R A B C = A C 2 sin B ,    trong đó   sin B = A H A B = A   S 2 − S H 2 A B = 1 2 Do đó  R C = a ⇒ S x q = 4 π R 2 C = 4 π a 2 .

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a\sqrt3,0,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB = AC = a$

nên:

$A\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac a2,0\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB = a,\ SC = a\sqrt2$

nên:

$\begin{cases} x^2+z^2=a^2 \ (x-a\sqrt3)^2+z^2=2a^2 \end{cases}$

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:

$3a^2-2a\sqrt3,x=a^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a{\sqrt3}$

Suy ra:

$z^2=a^2-\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{2a^2}{3}$

$\Rightarrow z=a\sqrt{\dfrac23}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta tính bán kính:

Do đối xứng suy ra:

$O\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac a2,0\right)$

Khi đó:

$\begin{aligned} R^2&=OB^2\ &=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2\ &=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=a^2 \end{aligned}$

$\Rightarrow R=a$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi a^2$