Chọn B

Vì mặt phẳng $(SBC) \perp (ABC)$ nên $SB \perp (ABC)$.

Do đó $SB \perp AB$, $SB \perp BC$.

Ta có: $SB = a$ và $BC = a$
=> tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $SBC$:

$SC^2 = SB^2 + BC^2$

$SC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$\Rightarrow SC = a\sqrt{2}$

Do đó, \(SD=\dfrac{a^2}{2}:a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

và \(AD=SA-SD=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

A N B C H K S

Theo giả thiết, \(HA=HC=\frac{1}{2}AC=a\) và \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Xét \(\Delta v.ABC\) ta có : \(BC=AC.\cos\widehat{ACB}=2a\cos30^0=\sqrt{3}a\)

Do đó : \(S_{\Delta.ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.2a.\sqrt{3}a.\sin30^0=\frac{\sqrt{3}a^2}{2}\)

Vậy \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\sqrt{2}a.\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{\sqrt{6}a^3}{6}\)

Vì CA=2HA nên d(C,(SAB))=2d(H, (SAB))  (1)

Gọi N là trung điểm của Ab, ta có HN là đường trung bình của tam giác ABC

Do đó HN//BC suy ra AB vuông góc với HN.

Lại có AB vuông góc với Sh nên AB vuông góc với mặt phẳng (SHN).

Do đó mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SHN).

Mà Sn là giao tuyến của 2 mặt phẳng vừa nêu, nên trong mặt phẳng (SHN), hạ HK vuông góc với SN, ta có HK vuông góc với mặt phẳng (SAB)

Vì vậy d(J, (SAB)) = HK. Kết hợp với (1), suy ra d(C. (SAB))=2HK (2)

Vì \(SH\perp\left(ABC\right)\) nên \(SH\perp HN\), xét tam giác v.SHN, ta có :

\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HN^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{HN^2}\)

Vì HN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(HN=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

Do \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{11}{6a^2}\) suy ra \(HK=\frac{\sqrt{66}a}{11}\) (3)

Thế (3) vào (2) ta được \(d\left(C,\left(SAB\right)\right)=\frac{\sqrt{66}a}{11}\)

ΔBAC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=\left(2a\right)^2+a^2=5a^2\)

=>\(AC=a\sqrt5\)

SA⊥(ABC)

=>\(\hat{SB;\left(ABC\right)}=\hat{BS;BA}=\hat{SBA}\)

Xét ΔSAB vuông tại A có tan SBA=\(\frac{SA}{AB}\)

=>\(SA=AB\cdot\tan60=2a\cdot\tan60=2a\sqrt3\)

Gọi M là trung điểm của AC

ΔBAC vuông tại B

mà BM là đường trung tuyến

nên MB=MC=MA

=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Qua M, kẻ d//SA

Trong mp(SA,d), kẻ đường trung trực của SA, cắt d tại I

=>I là tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

=>IS=IA=IB=IC

Bán kính mặt cầu là:

\(R=\sqrt{R_{đáy}^2+\left(\frac{SA}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt5}{2}\right)^2+\left(a\sqrt3\right)^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)

b: Diện tích mặt cầu là:

\(S=4\pi\cdot R^2=4\pi\left(\frac{a\sqrt{17}}{2}\right)^2=a^2\sqrt{17}\cdot\pi\)

Thể tích khối cầu là;

\(V=\frac43\cdot\pi\cdot R^3=\frac43\pi\left(\frac{a\sqrt{17}}{2}\right)^3=\frac43\pi\cdot a^3\cdot\frac{17\sqrt{17}}{8}=\frac{17\sqrt{17}\cdot a^3\pi}{6}\)