Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên $(ABC)$ thuộc $BC$.

Tam giác $SBC$ cân tại $S$ nên $SH \perp BC$ tại trung điểm $H$ của $BC$.

Suy ra: $BH = HC = \dfrac{a}{2}$.

Trong tam giác đều $ABC$: $AH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Đặt $SH = h$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot h= \dfrac{a^2\sqrt3}{12}h$.

Vậy $V = \dfrac{a^2\sqrt3}{12}h$.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$
$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Mặt bên $(SAB)\perp(ABC)$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$
$\Rightarrow SA=SB,; AB$ là cạnh huyền

$AB=a \Rightarrow SA=SB=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Vì $(SAB)\perp(ABC)$
$\Rightarrow$ chiều cao khối chóp là khoảng cách từ $S$ đến $AB$ trong tam giác $SAB$

Chiều cao từ $S$ xuống $AB$:

$h=\dfrac{SA\cdot SB}{AB} =\dfrac{\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}{a} =\dfrac{a}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h$

$=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Chọn B

 ​

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Đường cao của tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$ nên: $SH\perp(ABC)$

Suy ra $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Xét tam giác đáy $ABC$ vuông tại $A$ và có:

$\widehat{ABC}=30^\circ$

Vì $BC=a$ (do tam giác $SBC$ đều) nên trong tam giác vuông:

$AB=BC\cos30^\circ =a\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$AC=BC\sin30^\circ =a\cdot\dfrac12 =\dfrac{a}{2}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a}{2} =\dfrac{a^2\sqrt3}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac13\cdot\dfrac{3a^3}{16} =\dfrac{a^3}{16}$

tam giác ABC cân tại S là sao vậy bạn

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$. Vì tam giác $SBC$ cân tại $S$ và $(SBC)\perp(ABC)$ nên $H$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra: $BH = HC = \dfrac{a}{2}$, và trong tam giác đều:

$AH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ bằng $30^\circ$ nên:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SH}{BH} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SH}{\dfrac{a}{2}} \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{2\sqrt3}= \dfrac{a^3}{24}$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $M \equiv H$.

Khoảng cách giữa $SB$ và $AM$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Ta có: $d(SB,AM) = d(A,(SBC)) = \dfrac{V_{S.ABC}}{S_{SBC}} \cdot 3$.

Xét tam giác $SBC$ cân tại $S$:

$SB = \sqrt{SH^2 + BH^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2\sqrt3}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Diện tích:

$S_{SBC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot SH= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{2\sqrt3}= \dfrac{a^2}{4\sqrt3}$.

Suy ra: $d(SB,AM) = \dfrac{3V}{S_{SBC}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3}{24}}{\dfrac{a^2}{4\sqrt3}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vậy: $V = \dfrac{a^3}{24}, \quad d(SB,AM) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Đáp án C

Gọi H là trung điểm AC. Ta có tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

suy ra  S H ⊥ A B C

Ta có

  S B , A B C = S B H ^ = 45 o ⇒ S H = B H = 1 2 A C = a 2 2 V S . A B C   = 1 3 . a 2 2 . 1 2 a 2 = a 3 2 12

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Do tam giác $SAC$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên: $H\in AC$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Vì góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\widehat{SBH}=45^\circ$

=> $\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH$

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$ ta có: $AC=a\sqrt{2}$

Vì $H\in AC$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Do đó: $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

=> $SH=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}} =\dfrac{a^3}{6\sqrt{2}} =\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Đáp án C

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Vì mặt phẳng $(SAC)\perp(ABC)$ nên $H\in AC$.

Do tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$: $AC=a\sqrt2$

=> $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Thể tích khối chóp

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^3}{6\sqrt2} =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên: $BC=a\sqrt2$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12 a\cdot a =\dfrac{a^2}{2}$

Do mặt phẳng $(SBC)\perp(ABC)$ và $SBC$ vuông cân tại $S$ nên: $SB=SC$ và $SB\perp SC$

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$, nên đường cao từ $S$ xuống $BC$ sẽ vuông góc với mặt đáy.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ nên:

$SH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Mà $SH\perp(ABC)$ nên $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH$$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}$
$=\dfrac{a^3}{6\sqrt2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Vậy $V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Đáp án C

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân nên:

$SA = SB$ và $\widehat{ASB} = 90^\circ$.

Suy ra: $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{2}= \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$.