Gọi I là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC. Hạ IJ vuông góc (SAB), vì J cách đều 3 điểm S, A, B nên J cũng cách đều 3 điểm S, A, B.

Vì tam giác SAB vuông đỉnh S nên J là trung điểm của AB.

Ta có SJ = .

Do SC vuông góc (SAB) nên IJ // SC.

Gọi H là trung điểm SC, ta có SH = IJ = .

Do vậy, IS² = IJ² + SJ² = (a² + b² + c²)/4 và bán kính hình cầu ngoại tiếp S.ABC là

r = IS = .

Diện tích mặt cầu là:

S = 4 πr² = π(a² + b² + c²) (đvdt)

(đvtt)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là R = \(\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

Diện tích mặt cầu cần tìm là S = 4\(\pi\)R² = (a²+b²+c²)\(\pi\).

Thể tích khối cầu cần tìm là V = 4/3.\(\pi\)R³ = \(\dfrac{\pi}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2}^3\).

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a$

Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp AB,\ SA\perp BC$

$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên $AH\perp SB$

$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên $AK\perp SC$

Suy ra: $\widehat{AHB}=90^\circ$

$\widehat{AKB}=90^\circ$

Do đó các điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.

Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^3$ $=\dfrac{\pi a^3}{6}$

Đáp án là A

Cách 1. Áp dụng công thức:  r = 3 V S t p (*) và tam giác đều cạnh x có diện tích  S = x 2 3 4 .

Từ giả thiết S.ABC đều có SA=SB=SC. Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc và thể tích khối chóp S.ABC bằng  a 3 6  nên ta có SA=SB=SC=a.

Suy ra AB=BC=CA=a 2  và tam giác ABC đều cạnh có độ dài a 2 . Do đó diện tích toàn phần của khối chóp S.ABC là

Thay vào (*) ta được:

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$

$\Rightarrow AC = a\sqrt2$

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp BC$.

Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.

Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$

=> $\angle AHB = \angle AKB = 90^\circ$

Xét tứ diện $A.HKB$.

Ta có:

$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$

$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$

Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$

Do đó, bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AB$.

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A.HKB$ có:

- Đường kính: $AB = a$

- Bán kính: $R = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$

$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKB$ là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Đáp án B

Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.

⇒ IA=IB=IC=IH=IK

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.

Suy ra bán kính R= a 2 2

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$

Do $SA \perp (ABC)$ nên: $SA \perp AB,\ SA \perp BC$

Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB,\ SC$.

Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$

=> $\angle AHB = 90^\circ,\ \angle AKB = 90^\circ$

Xét tứ diện $A.HKB$.

Ta có:

$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$

$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$

Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$

Vậy bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.

Do đó:

- Đường kính mặt cầu: $AB = a$

- Bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$

$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vậy Thể tích khối cầu cần tìm là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Chọn D.