Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C
Phương pháp:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng S.ABC bởi định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức
V = 1 3 S h
Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Theo giả thiết: $d=3$.
Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:
$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.
Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Mặt khác: $SA\perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SMA}$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.
Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.
Thể tích:
$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.
Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:
$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.
Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.
Thế vào biểu thức thể tích:
$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$
$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.
Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.
Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.
Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.
Xét: $f(t)=t-t^3$.
$f'(t)=1-3t^2$.
$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.
Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.
Chọn đáp án C.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
$AM \perp BC$ và: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:
$\widehat{SMA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$
$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Vậy:
$V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Chọn đáp án D.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
$AM \perp BC$ và: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:
$\widehat{SMA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$
$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Vậy:
$V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Chọn đáp án A.
Kẻ A H ⊥ B C và A H ⊥ S I . Khi đó A H ⊥ S B C ⇒ d A , S B C = A H
Ta có A I = a 3 2 (do ∆ A B C đều cạnh a)
và
S B A B C = S B A ^ = 60 o ⇒ S A = A B . tan 60 = a 3
Vậy d A S B C = A H = S A . A I S A 2 + A I 2 = a 15 5
Đáp án A
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC = 2a\sqrt2$ nên:
$AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = 2a$.
Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = a^3 \Rightarrow \dfrac13 \cdot 2a^2 \cdot SH = a^3 \Rightarrow SH = \dfrac{3a}{2}$.
Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (SBC)$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì:
$BH = CH = \dfrac{BC}{2} = a\sqrt2$.
Trong tam giác vuông cân $ABC$:
$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = a\sqrt2$.
=> $SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + (a\sqrt2)^2 = \dfrac{9a^2}{4} + 2a^2 = \dfrac{17a^2}{4}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.
Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó lên $(SBC)$ nên:
$\sin \alpha = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{17}}$.
=> $\alpha \approx 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$.
Chọn đáp án C.
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $A$)
Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $S(0,0,h)$
Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$
$(ABC)$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{n_1} = (0,0,1)$
Trong $(SBC)$: $\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SC} = (0,a,-h)$
$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ ah,\ a^2)$
Góc giữa hai mặt phẳng:
$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$
Tính: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$
$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{2h^2 + a^2}$
Suy ra: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{2h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{2h^2 + a^2}}$
Giải ra: $\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{2h^2 + a^2} \Rightarrow 2h^2 + a^2 = 4a^2$
$\Rightarrow 2h^2 = 3a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{2} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Đáp án C.