Chọn C

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$ suy ra:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$ suy ra:

$x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Từ $OA=OS$ suy ra:

$z^2=(z-2a)^2$

$\Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$.

Vậy:

$\boxed{R=a\sqrt2}$.

Đáp án là C

Ta có:

Do đó 2 điểm A, B nhìn đoạn SC dưới một góc vuông. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là mặt cầu đường kính SC.

Xét tam giác ABC có 

suy ra 

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$. Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$. Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên: $S(a,0,2a)$. Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Từ $OA=OB$ suy ra: $(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac a2$. Từ $OB=OC$ suy ra: $x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Từ $OA=OS$ suy ra: $z^2=(z-2a)^2 \Rightarrow z=a$. Vậy: $O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$. Bán kính mặt cầu: $R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$ $=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$. Vậy: $\boxed{R=a\sqrt2}$. Chọn đáp án B.

A N B C H K S

Theo giả thiết, \(HA=HC=\frac{1}{2}AC=a\) và \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Xét \(\Delta v.ABC\) ta có : \(BC=AC.\cos\widehat{ACB}=2a\cos30^0=\sqrt{3}a\)

Do đó : \(S_{\Delta.ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.2a.\sqrt{3}a.\sin30^0=\frac{\sqrt{3}a^2}{2}\)

Vậy \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\sqrt{2}a.\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{\sqrt{6}a^3}{6}\)

Vì CA=2HA nên d(C,(SAB))=2d(H, (SAB))  (1)

Gọi N là trung điểm của Ab, ta có HN là đường trung bình của tam giác ABC

Do đó HN//BC suy ra AB vuông góc với HN.

Lại có AB vuông góc với Sh nên AB vuông góc với mặt phẳng (SHN).

Do đó mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SHN).

Mà Sn là giao tuyến của 2 mặt phẳng vừa nêu, nên trong mặt phẳng (SHN), hạ HK vuông góc với SN, ta có HK vuông góc với mặt phẳng (SAB)

Vì vậy d(J, (SAB)) = HK. Kết hợp với (1), suy ra d(C. (SAB))=2HK (2)

Vì \(SH\perp\left(ABC\right)\) nên \(SH\perp HN\), xét tam giác v.SHN, ta có :

\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HN^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{HN^2}\)

Vì HN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(HN=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

Do \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{11}{6a^2}\) suy ra \(HK=\frac{\sqrt{66}a}{11}\) (3)

Thế (3) vào (2) ta được \(d\left(C,\left(SAB\right)\right)=\frac{\sqrt{66}a}{11}\)

Đáp án D

Phương pháp:

S.ABC là tứ diện vuông là một phần của hình hộp chữ nhật SB’D’C’.ABDC (như hình vẽ bên), có tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm của hình hộp chữ nhật, có bán kính bằng nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật (độ dài các cạnh là a, b, c) bằng 

Cách giải:

Bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC:

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = (2a)^2 + (3a)^2 = 13a^2 \Rightarrow BC = a\sqrt{13}$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên:

$\triangle SAB,\ \triangle SAC,\ \triangle SBC$ đều là tam giác vuông tại $A$.

Ta có: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$,

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt{10}$,

$BC = a\sqrt{13}$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + SC^2 = 5a^2 + 10a^2 = 15a^2 \ne BC^2$ nên không vuông.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ C(0,3a,0),\ S(0,0,a)$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp có dạng $I(x,y,z)$ cách đều $A,B,C,S$.

Từ $IA = IB$:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = a$.

Từ $IA = IC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-3a)^2 + z^2 \Rightarrow y = \dfrac{3a}{2}$.

Từ $IA = IS$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z-a)^2 \Rightarrow z = \dfrac{a}{2}$.

Suy ra $I\left(a,\dfrac{3a}{2},\dfrac{a}{2}\right)$.

Bán kính:

$r = IA = \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$

$= \sqrt{a^2 + \dfrac{9a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}}$

$= \sqrt{\dfrac{14a^2}{4}}$

$= \dfrac{a\sqrt{14}}{2}$.

Vậy $r = \dfrac{a\sqrt{14}}{2}$.

Chọn đáp án D.