Đáp án C

Gọi I là trung điểm SC

Tam giác SAC vuông tại A, ta có: IA = IS = IC

=>  ∆ SBC vuông tại B, ta có IB = IS = IC

Tương tự ta có ID = IS = IC

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính bằng  1 2 SC

Tam giác ABC vuông tại B, ta có: AC = 

Tam giác SAC vuông tại A, ta có SC = 

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp là: R =  13 a 2

Chọn đáp án D

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm của SC. Khi đó OI  ⊥ (ABCD)

⇒ IA = IB = IC = ID với ∆ S A C  vuông tại A, IA = IS = IC. Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra IA = a 2 ⇒ SC = 2a 2 . Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ∆ S A C  vuông cân

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), C(a,b,0)$, với $b$ chưa biết.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $45^\circ$, nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SA}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1 \Rightarrow h = \sqrt{a^2 + b^2}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp: $R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$, với $AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

Vì $R = a\sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{h^2 + (a^2 + b^2)}}{2} = a \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + (a^2 + b^2)} = 2 a \sqrt{2}$

Thay $h^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2 + a^2 + b^2} = \sqrt{2(a^2 + b^2)} = 2 a \sqrt{2} \Rightarrow a^2 + b^2 = 4 a^2 \Rightarrow b^2 = 3 a^2 \Rightarrow b = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot b = a \cdot a \sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}$

Chiều cao $SA = h = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + 3 a^2} = \sqrt{4 a^2} = 2 a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \sqrt{3} \cdot 2 a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)

\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)

a. Ta có : \(\begin{cases}AB\perp BC\left(ABCDvuong\right)\\SA\perp BC\left(SA\perp\left(ABCD\right)\right)\end{cases}\)  \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(SB\subset\left(SAB\right)\) nên \(BC\perp SB\) Vậy \(\Delta SBC\left(\perp B\right)\)

tương tự ta có : \(\begin{cases}SA\perp DC\\AD\perp DC\end{cases}\) \(\Rightarrow DC\perp\left(SAD\right)\) mà \(SD\subset\left(SAD\right)\) nên \(SD\perp DC\) Vậy \(\Delta SDC\left(\perp D\right)\)

ta có \(SA\perp AD\) nên \(\Delta SAD\left(\perp A\right)\) 

Có \(SA\perp AB\) nên \(\Delta SAB\left(\perp A\right)\)

b. Ta có : \(\begin{cases}AC\perp BD\\SA\perp BD\end{cases}\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\) mà \(BD\subset\left(SBD\right)\) nên \(\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

- Xác định góc \(\beta\) giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) :

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp AO\\BD\perp SO\left(BD\perp\left(SAC\right)\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\overline{\left(SBD\right),\left(ABCD\right)}\right]=\widehat{SOA}=\beta\)

- Tính góc \(\beta\) :

Trong tam giác vuông SOA, ta có :

\(\tan\beta=\dfrac{SA}{OA}=2\Rightarrow\beta=arc\tan2\)

a có \(\angle \left(\right. S C , \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right) = 45^{\circ}\).

Nghĩa là hình chiếu của \(S\) xuống đáy nằm trên đường chéo \(B D\).

Xét tam giác cân \(S A B\), do tính đối xứng ⇒ khoảng cách từ \(A\) đến \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chính bằng nửa cạnh hình vuông:

\(d\left(\right.A,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{2}\)

Với \(M\) là trung điểm \(S A\), khoảng cách giảm đi một nửa:

\(d\left(\right.M,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{4}\)

Đáp số

\(d \left(\right. A , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{2}\)

\(d \left(\right. M , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{4}\)