a) Trường hợp 1 .

I thuộc đoạn AO (0 < x < a/2)

Khi đó I ở vị trí I1

Ta có: (α) // (SBD)

Vì (α) // BD nên (α) cắt (ABD) theo giao tuyến M1N1 ( qua I1) song song với BD

Tương tự (α) // SO nên (α) cắt (SOA) theo giao tuyến

S1T1 song song với SO.

Ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác S1M1N1.

Nhận xét. Dễ thấy rằng S 1 M 1   / /   S B   v à   S 1 N 1   / /   S D . Lúc đó tam giác S1M1N1 đều.

Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC (a/2 < x < a)

Khi đó I ở vị trí I2. Tương tự như trường hợp 1 ta có thiết diện là tam giác đều

S 2 M 2 N 2   c ó   M 2 N 2   / /   B D , S 2 M 2   / /   S B ,   S 2 N 2   / /   S D .

Trường hợp 3. I ≡ O. Thiết diện chính là tam giác đều SBD.

b) Ta lần lượt tìm diện tích thiết diện trong các trường hợp 1,2,3.

Trường hợp 1. I thuộc đoạn AO (0 < x < a/2)

Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC (a/2 < x < a)

Trường hợp 3. I ≡ O.

Tóm lại

∗ Đồ thị của hàm số S theo biến x như sau:

Vậy Sthiết diện lớn nhất khi và chỉ khi x = a/2.

a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng (α) với cạnh SC. Ta có: (α) ⊥ SC, AI ⊂ (α) ⇒ SC ⊥ AI. Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và AI ⊂ (α), nên K là giao điểm của SO với (α).

b) Ta có 

⇒ BD ⊥ SC

Mặt khác BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC).

Vì BD ⊥ SC và (α) ⊥ SC nhưng BD không chứa trong (α) nên BD // (α)

Ta có K = SO ∩ (α) và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của (α) và (SBD).

Mặt phẳng (SBD) chứa BD // (α) nên cắt theo giao tuyến d // BD. Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của (α) và (SBD).

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD. Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SC và đường chéo MN song song với BD.

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ O\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

a) Tìm $K = SO \cap (\alpha)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A$ và vuông góc $SC$ ⇒ $SC \perp (\alpha)$.

⇒ $I = SC \cap (\alpha)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$.

Đường thẳng $SO$ cắt $(\alpha)$ tại $K$ ⇒ $K$ là hình chiếu của $O$ lên $(\alpha)$ theo phương song song $SC$.

Kết luận: $K$ là giao điểm của $SO$ với đường thẳng đi qua $O$ song song $SC$.

b) Chứng minh $(SBD) \perp (SAC)$ và $BD \parallel (\alpha)$

Ta có: $\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{BD} = (-a,a,0)$

⇒ $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -a^2 + a^2 = 0$ ⇒ $AC \perp BD$.

Mặt khác: $SA \perp (ABCD)$ ⇒ $SA \perp AC,\ SA \perp BD$.

⇒ $BD \perp (SAC)$ ⇒ $(SBD) \perp (SAC)$.

Vì $(\alpha) \perp SC$ và $(SAC)$ chứa $SC$ ⇒ $(\alpha) \perp (SAC)$.

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc $(SAC)$ ⇒ giao tuyến của chúng song song với $BD$.

⇒ $BD \parallel (\alpha)$.

c) Tìm giao tuyến và thiết diện

Giao tuyến:
$d = (SBD) \cap (\alpha)$.

Từ trên: $d \parallel BD$.

$d$ đi qua điểm $K$ ⇒ $d$ là đường thẳng qua $K$ và song song $BD$.

Thiết diện:

$(\alpha)$ cắt:

- $SC$ tại $I$

- $SD$ tại một điểm (thuộc mặt $(SBD)$)

- $SB$ tại một điểm (thuộc mặt $(SBD)$)

Do đó thiết diện là tam giác tạo bởi các giao điểm trên.

Vì $d \parallel BD$ nên thiết diện là tam giác có một cạnh song song $BD$.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S = (0,0,2a)$.

Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ với $AM = x$, $0 < x < a$: $M = (x,0,0)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ có phương trình: $x = x$.

a. Tìm thiết diện

Thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng $x=x$ với các cạnh của chóp:

- Giao với $AB$: $Q = (x,0,0)$

- Giao với $SB$: Vector $SB = B-S = (a,0,-2a)$, tham số $t$: $S + t SB = (0,0,2a) + t(a,0,-2a) = (at,0,2a-2a t)$

Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $z = 2a - 2x$, nên giao điểm $P = (x,0,2a-2x)$

- Giao với $SC$: Vector $SC = C-S = (a,2a,-2a)$, tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t(a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a-2a t)$

Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $y = 2x$, $z = 2a - 2x$. Do hình thang vuông nên $y$ tối đa là $2a$ ⇒ lấy $R = (x,2a,0)$

Vậy thiết diện là tam giác $PQR$ với $P = (x,0,2a-2x)$, $Q = (x,0,0)$, $R = (x,2a,0)$.

b. Tính diện tích thiết diện

Vector $\vec{PQ} = Q-P = (0,0,0-(2a-2x)) = (0,0,2x-2a)$

Vector $\vec{PR} = R-P = (0,2a,0-(2a-2x)) = (0,2a,2x-2a)$

Diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$

Tích có hướng:

$\vec{PQ} \times \vec{PR} = (-4a(a-x), 0, 0)$

Độ lớn: $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = 4a(a-x)$

Vậy diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 a (a-x) = 2 a (a-x)$

Bài này ko hề khó, đầu tiên ta dễ dàng xác định được thiết diện đi qua P theo Talet.

Gọi giao của thiết diện với BC, SD lần lượt là E, F

Để \(PJ||\left(SAD\right)\Rightarrow PJ||ME\Rightarrow PJME\) là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow PF=MJ\)

Đến đây sử dụng tỉ lệ tam giác đồng dạng là ra x

Câu b thì từ P kẻ vuông xuống ME và S vuông xuống AB, 2 đường cao này song song theo tỉ lệ tương ứng CP/CS (Talet). Vậy là ra tỉ lệ diện tích

+ Ta có: (α) // AB

⇒ giao tuyến (α) và (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB.

Qua O kẻ MN // AB (M ∈ BC, N ∈ AD)

⇒ (α) ∩ (ABCD) = MN.

+ (α) // SC

⇒ giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua M và song song với SC.

Kẻ MQ // SC (Q ∈ SB).

+ (α) // AB

⇒ giao tuyến của (α) và (SAB) là đường thẳng qua Q và song song với AB.

Từ Q kẻ QP // AB (P ∈ SA).

⇒ (α) ∩ (SAD) = PN.

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tứ giác MNPQ.

Ta có: PQ// AB và NM // AB

=> PQ // NM

Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang.