Chọn C

Phương pháp:

- Xác định góc giữa mặt phẳng (SBD) với (ABD) (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)

- Tính khoảng cách dựa vào công thức tỉ số khoảng cách:

Cách giải

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0)$.

Gọi $D(x,h,0),\ C(x+a,h,0)$ (vì $DC = a$ và $AB \parallel DC$).

Điều kiện:
$AD = a \Rightarrow x^2 + h^2 = a^2$
$BC = a \Rightarrow (x-a)^2 + h^2 = a^2$

Lấy hiệu: $(x-a)^2 - x^2 = 0 \Rightarrow -2ax + a^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Thay vào: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $D\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{3a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (2a,0,-h),\ \vec{SD} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},-h\right)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a h\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3ah}{2},\ a^2\sqrt{3}\right)$.

Góc giữa $(SBD)$ và đáy là $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \dfrac{|\text{hệ số }z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{\dfrac{3a^2h^2}{4} + \dfrac{9a^2h^2}{4} + 3a^4}}$

Rút gọn:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{3a^2h^2 + 3a^4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3h^2 + 3a^2}}$

⇒ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

⇒ $h^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

⇒ $S(0,0,a)$.

Trung điểm $I$ của $AB$: $I(a,0,0)$.

Khoảng cách từ $I$ đến $(SBD)$: $\vec{SI} = (a,0,-a)$

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SI}|}{|\vec{n}|}$

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SI} = \dfrac{a h\sqrt{3}}{2} \cdot a + 0 + a^2\sqrt{3} \cdot (-a) = \dfrac{a^2h\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3}$

Thay $h = a$:

$= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3} = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

⇒ giá trị tuyệt đối: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2h^2 + 3a^4} = a^2\sqrt{6}$

Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a^2\sqrt{6}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Vậy $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

$d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{GM}{GB}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{}{}$

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

Mà \(CD=\left(SCD\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

\(tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SDA}=60^0\)

b.

Gọi E là giao điểm AC và DI

I là trung điểm AB \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AB=a\Rightarrow AI=DC\)

\(\Rightarrow AICD\) là hình bình hành

Mà \(\widehat{A}=90^0\Rightarrow AICD\) là hình chữ nhật

\(AI=AD=a\) (hai cạnh kề bằng nhau) \(\Rightarrow AICD\) là hình vuông

 \(\Rightarrow AC\perp DI\) tại E

Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp DI\Rightarrow DI\perp\left(SAE\right)\)

Mà \(DI=\left(SDI\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SDI) và (ABCD)

\(AE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AD^2+CD^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SEA}=\dfrac{SA}{AE}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow\widehat{SEA}\approx50^046'\)

https://hoc24.vn/cau-hoi/.5005119341955 tương trợ em với thầy :((

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2a$ nên đặt $S(0,0,2a)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-2a),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2,\ 2a^2,\ 2a^2)$.

Mặt phẳng $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{k} = (0,0,1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha$, ta có:
$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{k} = 2a^2$

$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2)^2 + (2a^2)^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{16 + 4 + 4} = a^2\sqrt{24} = 2a^2\sqrt{6}$

Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{2a^2}{2a^2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{1}{6}} = \sqrt{\dfrac{5}{6}}$

Do đó: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{5/6}}{1/\sqrt{6}} = \sqrt{5}$

Đề đúng là SC vuông góc (ABCD) phải không nhỉ?

Gọi O là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow\) O đồng thời là trung điểm AC và BD

Gọi E và F lần lượt là trung điểm SA và AD, từ O kẻ \(OH\perp EF\) (1)

OE là đường trung bình tam giác SAC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OE=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{3a}{2}\\OE||SC\Rightarrow OE\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OE\perp AD\)

OF là đường trung bình tam giác ACD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OF||CD\Rightarrow OF\perp AD\\OF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{a}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AD\perp\left(OEF\right)\) \(\Rightarrow AD\perp OH\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow OH\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow HD\) là hình chiếu vuông góc của OD lên (SAD)

\(\Rightarrow\widehat{HDO}\) là góc giữa BD và (SAD)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OE^2}+\dfrac{1}{OF^2}\Rightarrow OH=\dfrac{OE.OF}{\sqrt{OE^2+OF^2}}=\dfrac{3a\sqrt{10}}{20}\)

\(OD=\dfrac{1}{2}BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{HDO}=\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}\Rightarrow\widehat{HDO}\approx25^06'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(SAD\right)\)

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=a\sqrt{2}\)

\(BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AC^2+BC^2=AB^2\Rightarrow AC\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

b.

\(CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD) 

\(\Rightarrow\widehat{SDA}=30^0\Rightarrow SA=AD.tan30^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

Qua S kẻ đường thẳng d song song AD

Do \(AD||CE\) \(\Rightarrow\) d là giao tuyến (SAD) và (SCE)

Mà \(d\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\widehat{ASE}\) là góc giữa (SAD) và (SCE)

\(AE=\dfrac{AB}{2}=a\)

\(tan\widehat{ASE}=\dfrac{AE}{SA}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ASE}=60^0\)

\(tan\widehat{ASE}=\sqrt{3}\) chứ aj?