Đáp án D

Ta có tam giác ACD vuông cân tại C và CA = CD = 2a

⇒ S A A C D = 4 a 2 . Gọi H là trung điểm của AB

Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

⇒ S H ⊥ A B C D ;   S H = a 3 .   V a y   S S A C D = 4 a 3 3 3

Đáp án cần chọn là A

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Ta biết $SA = 2a$:

$SA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 4a^2 \Rightarrow h^2 = 4a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Chọn A.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Tọa độ $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$ và $C(a,a,0)$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - \dfrac{a\sqrt{15}}{2}) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$

Vector pháp tuyến đáy: $\vec{n} = (0,0,1)$

Góc $\theta$ giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy:

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{SC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SC}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{\left| -\dfrac{a\sqrt{15}}{2} \right|}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2 + \dfrac{15 a^2}{4}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{ \dfrac{20 a^2}{4}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{5} a} = \dfrac{\sqrt{15}/2}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy: $\theta = 30^\circ$

Chọn A.

Chọn B.

Phương pháp:

- Xác định đường cao của hình chóp.

- Tính diện tích đáy và chiều cao suy ra thể tích theo công thức   V = 1 3 S h

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Ta biết $SA = 2a$:

$SA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 4a^2 \Rightarrow h^2 = 4a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Chọn B.

Đáp án C

Tam giác SAD đều cạnh 2 a ⇒ S H = a 3 ⇒ H C − 2 a 3 .  

Kẻ BK vuông góc H C ⇒ B K ⊥ S H C ⇒ B K − 2 a 6  

Diện tích tam giác BHC là S Δ B H C = 1 2 B K . H C = 6 a 2 2  

Mà S A B C D = S Δ H A B + S Δ H C D + S Δ H B C = 1 2 S A B C D + S Δ H B C ⇒ S A B C D = 2   x   S Δ H B C = 12 a 2 2  

V S . A B C D = 1 3 . S H . S Δ H B C = 1 3 . a 3 .12 a 2 2 = 4 6 a 3  

Gọi E là trung điểm của AD ta chỉ ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp S.EABC .

Từ đó ta đưa về bài toán tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.

Sử dụng công thức tính nhanh

với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, r là bán kính

đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp, h là chiều cao hình chóp

Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu

Mà SE vuông góc với AD (do tam giác SAD đều có SE là trung tuyến)

Suy ra SE vuông góc với ( ABCD)=>SE vuông góc với (EABC)

Nhận thấy EABC là hình vuông nên đường tròn ngoại tiếp EABC cũng

là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hay mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EABC.

Mà hình chóp S.EABC có cạnh bên SE vuông góc với (EABC) và đáy EABC là hình vuông cạnh a. Gọi I là tâm hình vuông EABC

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.EABC là 

Đáp án C

Phương pháp: Thể tích khối chóp  V = 1 3 S d a y . h

Cách giải: Gọi H là trung điểm của AB ta có:  S H ⊥ A B và  S H = a 3 2

Có đường cao của hình chóp đồng thời là đường cao tam giác đều 

S A B ⇒ h = a 3 3 ⇒ V = a 3 2 . a . 2 a 3 = a 3 3 3

Chọn đáp án B.