Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0),\ C(a,b,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$ với $AB = a$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SA = SB = AB = a \Rightarrow SA = a$

Do $SD = 2a\sqrt3$, vector $\vec{SD} = D - S = \left(-\dfrac{a}{2}, b - 0, 0 - h \right)$

Chiều dài $|\vec{SD}|^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + b^2 + h^2 = \dfrac{a^2}{4} + b^2 + h^2 = (2a\sqrt3)^2 = 12 a^2$

$\Rightarrow b^2 + h^2 = 12 a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{47 a^2}{4}$

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $30^\circ$:

$\vec{SC} = C - S = \left(a - \dfrac{a}{2}, b - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, b, -h\right)$

Chiều dài $|\vec{SC}| = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{47 a^2}{4}} = \sqrt{12 a^2} = 2 a \sqrt3$

Khoảng cách từ $S$ tới đáy:

$\sin 30^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} = \dfrac{h}{2a\sqrt3} \Rightarrow h = 2 a\sqrt3 \cdot \dfrac{1}{2} = a \sqrt3$

Suy ra $b^2 = \dfrac{47a^2}{4} - 3 a^2 = \dfrac{47 a^2}{4} - \dfrac{12 a^2}{4} = \dfrac{35 a^2}{4} \Rightarrow b = \dfrac{a \sqrt{35}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a \cdot b = a \cdot \dfrac{a \sqrt{35}}{2} = \dfrac{a^2 \sqrt{35}}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{35}}{2} \cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^3 \sqrt{105}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{105}}{6}$

D A B C N M I G H

\(d\left(M,BN\right)=\frac{\left|13\left(-1\right)-10.2+13\right|}{\sqrt{13^2+10^2}}=\frac{20}{\sqrt{269}}\)

\(H\in\Delta\Leftrightarrow H\left(3a;2a\right)\)

Gọi I là tâm ABCD, G là giao điểm của AC và BN. Ta thấy G là trọng tâm của tam giác BCD

Suy ra \(CG=\frac{2}{3}.CI=\frac{1}{3}AC\) mà \(AM=\frac{1}{4}AC\Rightarrow MG=\frac{5}{12}AC\Rightarrow CG=\frac{4}{5}MG\)

\(\Rightarrow d\left(C,BN\right)=\frac{4}{5}d\left(M,BN\right)=\frac{16}{\sqrt{269}}\Rightarrow d\left(H,BN\right)=2d\left(C,BN\right)=\frac{32}{\sqrt{269}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|13.3a-10.2a+13\right|}{\sqrt{269}}=\frac{32}{\sqrt{269}}\Leftrightarrow a=1\) hoặc \(a=\frac{-45}{19}\)

Vì H và M nằm khác phía đối với đường thẳng BN nên \(H\left(3;2\right)\)

Tiếp.........

Ta thấy \(CM=\frac{3AC}{4}=\frac{2AB}{4}=\frac{2CD}{4}=\frac{CD}{2}=CD=CH\Rightarrow\Delta MHN\) vuông tại M

HM có phương trình \(y-2=0\Rightarrow MN:x+1=0\Rightarrow N\left(-1;0\right)\Rightarrow C\left(1;1\right),D\left(-3;-1\right)\)

Do \(\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{MA}\Rightarrow A\left(\frac{-5}{3};\frac{7}{3}\right)\Rightarrow I\left(\frac{-1}{3};\frac{5}{3}\right)\Rightarrow B\left(\frac{7}{3};\frac{13}{3}\right)\)

Vậy \(A\left(\frac{-5}{3};\frac{7}{3}\right);B\left(\frac{7}{3};\frac{13}{3}\right);C\left(1;1\right);D\left(-3.-1\right)\)

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên: $BC=AD=2a$

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2} =\sqrt{a^2+(2a)^2} =a\sqrt5$

Do tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại trung điểm $H$ của $AB$

$\Rightarrow SH\perp(ABCD)$

Xét tam giác vuông $SCH$ (vì $SH\perp(ABCD)$):

$\angle(SC,(ABCD))=45^\circ$

$\Rightarrow \tan45^\circ=\dfrac{SH}{HC}=1$

$\Rightarrow SH=HC$

Ta có: $H$ là trung điểm $AB \Rightarrow AH=\dfrac a2$

$HC=\sqrt{AH^2+AD^2} =\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+(2a)^2} =\dfrac{a\sqrt{17}}2$

$\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{17}}2$

Gọi $M$ là trung điểm của $SD$ nên: $SM=\dfrac{SD}{2}$

Vì $SD$ có thành phần vuông góc với $(SAC)$ bằng $SH$, nên khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$ bằng một nửa khoảng cách từ $D$ đến $(SAC)$.

Mà: $d(D,(SAC))=SH=\dfrac{a\sqrt{17}}2$

=> $d(M,(SAC))=\dfrac12\cdot\dfrac{a\sqrt{17}}2=\dfrac{a\sqrt{17}}4$

Vậy $d=\dfrac{a\sqrt{17}}4$

S B N M C D I K A

Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)

Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM

\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)

Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :

\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)

Lại có : 

\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)

                           \(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)

Chọn D

Có đường cao của hình chóp đồng thời là đường cao tam giác đều 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy qua trung điểm $M$ của $AB$, $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SA = SB = AB = a$

$\Rightarrow SA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2 a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$: $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $60^\circ$:

$\vec{SC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều dài $SC = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$

$\sin 60^\circ = \dfrac{h}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{5a^2}{4}}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{5a^2}{4}}}$

$\Rightarrow 3(h^2 + \dfrac{5a^2}{4}) = 4 h^2 \Rightarrow 3h^2 + \dfrac{15a^2}{4} = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Chọn D.