Chọn A

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết:

Cách giải:

ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,2a,-h)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2ah,\ ah,\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d_A = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,h)$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 h$

$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (2a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 4a^2}$

Suy ra: $d_A = \dfrac{2a^2 h}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$

Theo đề: $\dfrac{2ah}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = a\sqrt{3}$

⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \sqrt{3}$

Giải ra:

$\dfrac{4h^2}{5h^2 + 4a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3(5h^2 + 4a^2)$

⇒ $4h^2 = 15h^2 + 12a^2 \Rightarrow 11h^2 = -12a^2$ (vô lý)

Nhận xét: khoảng cách không phụ thuộc vào $h$ theo cách trực tiếp, ta dùng tính chất hình học.

Vì đáy là hình chữ nhật nên $AC$ cắt $(SBD)$ tại trung điểm của $BD$.

Khoảng cách từ các điểm $A, C$ đến $(SBD)$ tỉ lệ với khoảng cách theo phương vuông góc.

Do tính đối xứng của hình chữ nhật:

$d_C = d_A$

Vậy: $d_C = a\sqrt{3}$.

Xét mặt phẳng đáy (ABCD) là hình thang cân. Kéo dài AC cắt BD tại I ta thu được tam giác đều ICD. 

Do đó AD và BC đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác ICD. Suy ra O là trọng tâm của tam giác ICD (Với O là giao của AD và BC)

Ta có: \(AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}\)

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và có giao tuyến là SO. Do đó SO vuông góc với (ABCD)

Xét tam giác SOB vuông tại O ta có: 

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Ta có: \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{4}.S_{ICD}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{AD.CI}{2}=\dfrac{3}{8}.a\sqrt{3}.2a=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{15}}{3}a.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{\sqrt{5}}{4}a^3\)

Xét mặt phẳng đáy (ABCD) là hình thang cân. Kéo dài AC cắt BD tại I ta thu được tam giác đều ICD. 

Do đó AD và BC đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác ICD. Suy ra O là trọng tâm của tam giác ICD (Với O là giao của AD và BC)

Ta có: \(AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}\)

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và có giao tuyến là SO. Do đó SO vuông góc với (ABCD)

Xét tam giác SOB vuông tại O ta có: 

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Ta có: \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{4}.S_{ICD}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{AD.CI}{2}=\dfrac{3}{8}.a\sqrt{3}.2a=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{15}}{3}a.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{\sqrt{5}}{4}a^3\)

Chọn C

Phương pháp:

- Xác định góc giữa mặt phẳng (SBD) với (ABD) (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)

- Tính khoảng cách dựa vào công thức tỉ số khoảng cách:

Cách giải

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0)$.

Gọi $D(x,h,0),\ C(x+a,h,0)$ (vì $DC = a$ và $AB \parallel DC$).

Điều kiện:
$AD = a \Rightarrow x^2 + h^2 = a^2$
$BC = a \Rightarrow (x-a)^2 + h^2 = a^2$

Lấy hiệu: $(x-a)^2 - x^2 = 0 \Rightarrow -2ax + a^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Thay vào: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $D\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{3a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (2a,0,-h),\ \vec{SD} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},-h\right)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a h\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3ah}{2},\ a^2\sqrt{3}\right)$.

Góc giữa $(SBD)$ và đáy là $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \dfrac{|\text{hệ số }z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{\dfrac{3a^2h^2}{4} + \dfrac{9a^2h^2}{4} + 3a^4}}$

Rút gọn:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{3a^2h^2 + 3a^4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3h^2 + 3a^2}}$

⇒ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

⇒ $h^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

⇒ $S(0,0,a)$.

Trung điểm $I$ của $AB$: $I(a,0,0)$.

Khoảng cách từ $I$ đến $(SBD)$: $\vec{SI} = (a,0,-a)$

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SI}|}{|\vec{n}|}$

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SI} = \dfrac{a h\sqrt{3}}{2} \cdot a + 0 + a^2\sqrt{3} \cdot (-a) = \dfrac{a^2h\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3}$

Thay $h = a$:

$= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3} = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

⇒ giá trị tuyệt đối: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2h^2 + 3a^4} = a^2\sqrt{6}$

Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a^2\sqrt{6}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Vậy $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\Rightarrow SA=AB.tan45^0=a\)

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=CO\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

Kẻ AH vuông góc BD, kẻ AK vuông góc SH

\(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{9}{4a^2}\)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2a}{3}\)

ĐÁP ÁN: D

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SD$:

$\vec{SD} = (0,2a,-h),\ SD = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SD$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SD} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{4a^2 + h^2} \Rightarrow 3(4a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 12a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 12a^2 \Rightarrow h = 2a\sqrt{3}$.

⇒ $S(0,0,2a\sqrt{3})$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-2a\sqrt{3}),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a\sqrt{3})$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2\sqrt{3},\ 2a^2\sqrt{3},\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,2a\sqrt{3})$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 \cdot 2a\sqrt{3} = 4a^3\sqrt{3}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{48 + 12 + 4} = a^2\sqrt{64} = 8a^2$.

Suy ra: $d = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{8a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)

=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60o

=> Tam giác ABD đều.

Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.

* Gọi H là tâm của tam giác ABD

=>SH ⊥ (ABD)

*Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$ ⇒ $C(a,b,0)$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,b,-h)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (bh,\ ah,\ ab)$.

Khoảng cách từ điểm $M(x,y,0)$ đến $(SBD)$:

$d(M) = \dfrac{|bhx + ahy|}{\sqrt{(bh)^2 + (ah)^2 + (ab)^2}}$.

Áp dụng: $d_A = \dfrac{abh}{\text{mẫu}},\quad d_C = \dfrac{2abh}{\text{mẫu}} \Rightarrow d_C = 2d_A$.

Theo đề: $d_A = \dfrac{6a}{7}$ ⇒ $d_C = 2 \cdot \dfrac{6a}{7} = \dfrac{12a}{7}$.

Đáp án: A. $\dfrac{12a}{7}$