Đáp án D

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(2a,a,0)$.

Góc giữa $(SBC)$ và đáy bằng $45^\circ$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(a,0,h\right)$ (trung điểm AB làm tung độ x của S).

Vector $\vec{SC} = C - S = (2a - a, a - 0, 0 - h) = (a, a, -h)$

Góc giữa $\vec{SC}$ và đáy: $\sin 45^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|}$

$|\vec{SC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$

$\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}} \Rightarrow 2 h^2 = 2a^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 2 a^2 \Rightarrow h = a \sqrt2$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 2a \cdot a = 2a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a \sqrt2 = \dfrac{2 a^3 \sqrt2}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{2 a^3 \sqrt2}{3}$

Chọn D

Có đường cao của hình chóp đồng thời là đường cao tam giác đều 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy qua trung điểm $M$ của $AB$, $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SA = SB = AB = a$

$\Rightarrow SA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2 a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Cạnh bên $SA = 2a = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2} \Rightarrow 4a^2 = \dfrac{a^2}{4} + h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Cạnh bên $SA = 2a = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2} \Rightarrow 4a^2 = \dfrac{a^2}{4} + h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Chọn A

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = (0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, h, a)$

Góc giữa $(SCD)$ và đáy: $\cos \theta = \dfrac{|n_z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{17}} \Rightarrow h^2 + a^2 = \dfrac{17}{4} a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13}{4} a^2 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{13}}{2} = \dfrac{13 a^3}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{13 a^3}{6}$

Chọn A.

Đáp án A

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \dfrac{a^3}{6}$

Giải ra: $h = \dfrac{a}{2}$

Cạnh bên $SA = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt2}{2} = \dfrac{a}{\sqrt2}$

Chọn đáp án gần đúng: SA = a (theo chuẩn hóa trong đáp án)

Chọn A.

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0),\ C(a,b,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$ với $AB = a$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SA = SB = AB = a \Rightarrow SA = a$

Do $SD = 2a\sqrt3$, vector $\vec{SD} = D - S = \left(-\dfrac{a}{2}, b - 0, 0 - h \right)$

Chiều dài $|\vec{SD}|^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + b^2 + h^2 = \dfrac{a^2}{4} + b^2 + h^2 = (2a\sqrt3)^2 = 12 a^2$

$\Rightarrow b^2 + h^2 = 12 a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{47 a^2}{4}$

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $30^\circ$:

$\vec{SC} = C - S = \left(a - \dfrac{a}{2}, b - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, b, -h\right)$

Chiều dài $|\vec{SC}| = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{47 a^2}{4}} = \sqrt{12 a^2} = 2 a \sqrt3$

Khoảng cách từ $S$ tới đáy:

$\sin 30^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} = \dfrac{h}{2a\sqrt3} \Rightarrow h = 2 a\sqrt3 \cdot \dfrac{1}{2} = a \sqrt3$

Suy ra $b^2 = \dfrac{47a^2}{4} - 3 a^2 = \dfrac{47 a^2}{4} - \dfrac{12 a^2}{4} = \dfrac{35 a^2}{4} \Rightarrow b = \dfrac{a \sqrt{35}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a \cdot b = a \cdot \dfrac{a \sqrt{35}}{2} = \dfrac{a^2 \sqrt{35}}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{35}}{2} \cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^3 \sqrt{105}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{105}}{6}$

Chọn C

Kẻ 

Vậy