Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó S H ⊥ ( A B C D )
Ta có S H ⊥ A B ; A B ⊥ H N ; H N ⊥ S H và S H = 3
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:
B ( 1 ; 0 ; 0 ) ; A ( - 1 ; 0 ; 0 ) ; N ( 0 ; 2 3 ; 0 ) ; C ( 1 ; 2 3 ; 0 ) ; D ( - 1 ; 2 3 ; 0 ) ; S ( 0 ; 0 ; 3 ) ; M ( - 1 2 ; 0 ; 3 2 ) ; P ( 1 ; 3 ; 0 )
Mặt phẳng (SCD) nhận n 1 → = - 3 6 C D → , S C → = 0 ; 1 ; 2 làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận n 2 → = - 2 3 3 M N → , M P → = 3 ; 1 ; 5 làm một vectơ pháp tuyến.
Gọi ∅ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì
cos ∅ = n 1 → . n 2 → n 1 → . n 2 → = 11 145 145
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
- Hình chiếu $H$ của $A$ lên $SB$:
$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a)$
Hình chiếu $H$: $\vec{SH} = t \vec{SB}$, $z_H = 0 \Rightarrow a - a t = 0 \Rightarrow t=1$
Vậy $H = S + \vec{SH} = S + \vec{SB} = (0,0,a) + (a,0,-a) = (a,0,0)$
- Hình chiếu $K$ của $A$ lên $SD$:
$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$, $\vec{SK} = s \vec{SD}$, $z_K = 0 \Rightarrow a - a s = 0 \Rightarrow s = 1$
Vậy $K = S + \vec{SD} = (0,0,a) + (0,a,-a) = (0,a,0)$
- Mặt phẳng $(AHK)$ đi qua $A(0,0,0), H(a,0,0), K(0,a,0)$
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AH} \times \vec{AK} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$
- Vector $\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$
- Tang của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AHK)$:
$\tan \theta = \dfrac{|\text{phần song song với mặt phẳng}|}{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|} = \dfrac{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|}{|\text{phần song song}|} ?$
Công thức chuẩn: với đường thẳng $\vec{v}$ và mặt phẳng pháp tuyến $\vec{n}$:
$\tan \theta = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v} \times \vec{n}|}$
Tính:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0,a,-a) \cdot (0,0,a^2) = -a \cdot a^2 = -a^3$
$|\vec{v} \times \vec{n}| = |(0,a,-a) \times (0,0,a^2)| = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{vmatrix} = (a^3,0,0) \Rightarrow |\vec{v} \times \vec{n}| = a^3$
Vậy: $\tan \theta = \dfrac{|-a^3|}{a^3} = 1$
Chọn C. $1$
Đáp án B
Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A
Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C
Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C vuông tại B suy ra tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3
⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .
Chọn C.
Phương pháp:
- Chứng minh tứ giác AEFH nội tiếp, từ đó tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF .
- Tìm đỉnh hình nón và tính chiều cao, bán kính đáy rồi suy ra thể tích.
Cách giải:
Chọn đáp án C.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì B D ⊥ S A O
Chọn đáp án B.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:
Đáp án C
Kẻ I M ⊥ S D tại M Đường thẳng I M ⊂ m p P
ABCD là hình vuông ⇒ C D ⊥ A D mà S A ⊥ C D ⇒ C D ⊥ S A D
Ta có P ⊥ A D mà C D ⊥ A D ⇒ C D / / m p P
Qua I kẻ đường thẳng song song với CD, cắt BC tại P
Qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SC tại N
Suy ra mặt phẳng (P) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang vuông IMNP tại M và I.
Tam giác SAD vuông tại A có d A ; S D = a 3 ⇒ I M = a 3 2
Tam giác IMD vuông tại M có M D = I D 2 − I M 2 = a 2 ⇒ S M S D = 7 8 ⇒ M N = 7 a 4
Vậy diện tích hình thang IMNP là S = I M . M N + I P 2 = a 3 2 . 1 2 . 7 a 4 + 2 a = 15 3 16 a 2
Đáp án là D
+ Gọi O là giao điểm của AC,BD
⇒ MO \\ SB ⇒ SB \\ ACM
⇒ d SB,ACM = d B,ACM = d D,ACM .
+ Gọi I là trung điểm của AD ,
M I \ \ S A ⇒ M I ⊥ A B C D d D , A C M = 2 d I , A C M .
+ Trong ABCD: IK ⊥ AC (với K ∈ AC ).
+ Trong MIK: IH ⊥ MK (với H ∈ MK ) (1) .
+ Ta có: AC ⊥ MI ,AC ⊥ IK ⇒ AC ⊥ MIK
⇒ AC ⊥ IH (2) .
Từ 1 và 2 suy ra
IH ⊥ ACM ⇒ d I ,ACM = IH .
+ Tính IH ?
- Trong tam giác vuông MIK. : I H = I M . I K I M 2 + I K 2 .
- Mặt khác: M I = S A 2 = a , I K = O D 2 = B D 4 = a 2 4
⇒ I H = a a 2 4 a 2 + a 2 8 = a 3
Vậy d S B , A C M = 2 a 3 .
Lời giải khác
