Đáp án A

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và:

$AB=a\sqrt2$ nên: $AC=a\sqrt2,\ BC=2a$

Do $SA=SB=SC$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Với tam giác vuông tại $A$, tâm ngoại tiếp là trung điểm của $BC$. Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Khi đó: $OA=OB=OC=\dfrac{BC}{2}=a$

Gọi $SO=h$.

Vì góc giữa $SA$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\widehat{SAO}=60^\circ$

Trong tam giác vuông $SAO$:

$\cos60^\circ=\dfrac{AO}{SA}=\dfrac{a}{SA}$

$\Rightarrow SA=2a$

Lại có:

$SA^2=SO^2+AO^2$

$\Rightarrow (2a)^2=h^2+a^2$

$\Rightarrow h^2=3a^2$

$\Rightarrow SO=a\sqrt3$

Tâm mặt cầu ngoại tiếp chính là điểm $S$ cách đều $A,B,C$ và bán kính mặt cầu là:

$R=SA=2a$

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC ta có:  A H ⊥ B C     Do  A B C ⊥ S B C ⇒ A H ⊥ S B C

Đặt  A H = x ⇒ H C = a 2 − x 2 = H B = S H ⇒ Δ S B C

 vuông tại S (do đường trùng tuyến bằng  cạnh đối diện). Suy ra B C = S B 2 + S C 2 = a 3 .  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ A B C ⇒ O ∈ A H ⇒ O A = O B = O C = OS   .Ta có:  R = R A B C = A C 2 sin B ,    trong đó   sin B = A H A B = A   S 2 − S H 2 A B = 1 2 Do đó  R C = a ⇒ S x q = 4 π R 2 C = 4 π a 2 .

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a\sqrt3,0,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB = AC = a$

nên:

$A\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac a2,0\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB = a,\ SC = a\sqrt2$

nên:

$\begin{cases} x^2+z^2=a^2 \ (x-a\sqrt3)^2+z^2=2a^2 \end{cases}$

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:

$3a^2-2a\sqrt3,x=a^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a{\sqrt3}$

Suy ra:

$z^2=a^2-\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{2a^2}{3}$

$\Rightarrow z=a\sqrt{\dfrac23}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta tính bán kính:

Do đối xứng suy ra:

$O\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac a2,0\right)$

Khi đó:

$\begin{aligned} R^2&=OB^2\ &=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2\ &=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=a^2 \end{aligned}$

$\Rightarrow R=a$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi a^2$

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của AC. Tam giác ABC vuông tại B, do đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của AC, suy ra OM // SA. Mà

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow AC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AC$, suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $A$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$

$\sqrt3 = \dfrac{SA}{a\sqrt2}$

$\Rightarrow SA = a\sqrt6$.

Khi đó:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 6a^2 + a^2 = 7a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt7$.

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = 6a^2 + 2a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Xét tam giác $SBC$:

$BC = a,\ SB = a\sqrt7,\ SC = 2a\sqrt2$.

Ta có:

$SB^2 + BC^2 = 7a^2 + a^2 = 8a^2 = SC^2$

$\Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$.

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là trung điểm của $SC$, bán kính:

$R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Thể tích khối cầu là:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (a\sqrt2)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 2\sqrt2 a^3 = \dfrac{8\sqrt2\pi a^3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{8\sqrt2\pi a^3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án B

Gọi H là trung điểm B C ⇒ A H ⊥ B C → S B C ⊥ A B C A H ⊥ S H .

Xét hai tam giác vuông SHA và BHA có  H A  chung S A = B A = a ⇒ Δ S H A = Δ B H A   .

  ⇒ S H = B H = C H ⇒ Δ S B C vuông tại  S ⇒ R b = B H = B C 2   .

Dễ thấy 

G T = B C ⇒ R = R b 2 + R d 2 − G T 2 4 = B H 2 + R d 2 − B C 2 4 = R d = a

Xét tam giác ABC, có:

sin C = A B 2 R = 1 2 ⇒ cos C = 3 2 ⇒ B C = 2 H C = 2 A C . cos C = a 3

Trong tam giác vuông SBC, ta có  S C = B C 2 − S B 2 = a 2   .

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(-m,0,0),\ C(m,0,0),\ A(0,h,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB=AC=a$

nên:

$m^2+h^2=a^2 \qquad (1)$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB=SA=a$

nên:

$\begin{cases}(x+m)^2+z^2=a^2\ x^2+h^2+z^2=a^2\end{cases}$

Trừ hai phương trình:

$2mx+m^2=h^2$

Kết hợp với $(1)$ suy ra:

$2mx=a^2-2m^2 \qquad (2)$

Giả sử bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $a$.

Khi đó tồn tại điểm $O$ sao cho:

$OA=OB=OC=OS=a$

Từ điều kiện đối xứng theo $BC$, suy ra $O$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $BC$, tức là:

$O(0,p,q)$

Từ: $OA=OB=a$ suy ra:

$p=\dfrac{h^2-m^2}{2h}$

Tiếp tục dùng điều kiện:

$OS=a$ thì hệ phương trình thu được không có nghiệm thực khác trường hợp suy biến.

Đáp án C

Gọi H là trung điểm  B C ⇒ A H ⊥ B C ⇒ A H ⊥ S H

Ta có Δ S H A = Δ B H A , Δ S B C  vuông tại  S ⇒ R b = B H = B C 2

R = R b 2 + R d 2 − B C 2 4 = a

Xét   Δ A B C có 

sin C = A B 2 R = 1 2 ⇒ cos C = 3 2 ⇒ B C = 2 H C = a 3

Ta có trong tam giác vuông  S B C : S C = B C 2 − S B 2 = a 2

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$B(-m,0,0),\ C(m,0,0),\ A(0,h,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB=AC=a$

nên:

$m^2+h^2=a^2 \qquad (1)$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ và giao tuyến là $BC$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB=SA=a$

nên:

$\begin{cases} (x+m)^2+z^2=a^2 \ x^2+h^2+z^2=a^2 \end{cases}$

Lấy hai phương trình trừ nhau:

$2mx+m^2=h^2$

Dùng $(1)$:

$2mx+m^2=a^2-m^2$

$\Rightarrow 2mx=a^2-2m^2$

Mặt khác:

$SC^2=(x-m)^2+z^2$

Từ các hệ thức trên suy ra:

$SC^2=3m^2 \qquad (2)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp. Theo giả thiết: $R=a$

Sau khi lập hệ tọa độ tâm mặt cầu và dùng điều kiện:

$OA=OB=OC=OS=a$ ta thu được:

$m^2=\dfrac{3a^2}{4}$

Thế vào $(2)$:

$SC^2=3\cdot\dfrac{3a^2}{4}=\dfrac{9a^2}{4}$

$\Rightarrow SC=\dfrac{3a}{2}$

Đáp án B

Gọi I là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC). Do S A = S B = S C  nên   I A = I B = I C ⇒ I  là tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ A B C . Mà Δ A B C  vuông cân tại A nên I là trung điểm của BC và I A = I B = I C = 1 2 B C = a 2 2 .

Ta có IA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC) nên S A , A B C ^ = S A , I A ^ = S A I ^ = 45 0 .

Do Δ S I A  vuông tại I nên Δ S A I  vuông cân tại I, khi đó :  S I = I A = a 2 2 ⇒ d S ; A B C = S I = a 2 2

Đáp án B

Hình chiếu của S xuống đáy ABC là tâm của đáy tức là M với M là trung điểm của .

Ta có  S A , A B C ^ = S A , A M ^ = S A M = 45 0

Vì ABC là tam giác vuông cân nên H cũng là trung điểm của BC vì thế 

A M = 1 2 B C = a 2 2

ta có 

d S ; A B C = S M = A M . tan S A M = a 2 2 . tan 45 0 = a 2 2

 Đáp án C

Gọi I là trung điểm của SC.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bán kính 

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB). Ta có ∠ I B C = 120 ° - 60 ° = 60 ° và IB=BC nên DIBC đều, IA=IB=IC=a

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0)$

Vì $\widehat{ABC} = 120^\circ,\ BC = a$ nên:

$C\left(a\cos120^\circ,\ a\sin120^\circ,\ 0\right) = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\ 0\right)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = 2a$ nên đặt:

$S(a,0,2a)$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Do $OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OB = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + z^2$

Thay $x = \dfrac{a}{2}$ ⇒ $y = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$

Từ $OA = OS$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + (z-2a)^2$

$\Rightarrow z = a$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2\sqrt{3}},\ a\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + a^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12} + a^2 = \dfrac{4a^2}{3}$

Suy ra:

$R = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$