Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SB\perp(ABC)$.

Suy ra $SB\perp AB$ và $SB\perp BC$.

Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$, ta có: $SB=a$, $BC=a$ nên $SC=\sqrt{SB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ (phù hợp với giả thiết).

Do $SA=SB=a$ và $AB=a$ nên các điểm $S,A,B$ cùng nằm trên mặt cầu tâm $O$ sao cho:

$OS=OA=OB=a$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $R=a$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp $S=4\pi R^2=4\pi a^2$

S o B H A D G d H' C K

Câu a bạn tự tính nhé!

Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\) 

Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.

Ta có: S_H'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\) 

Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

Đáp án B.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB).

Ta có:

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Ta có:

Vì $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAB$, $SAC$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có:
$AB = BC = a$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\dfrac{1}{2})$

$AC^2 = 3a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt{3}$

Do $SA \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ nằm trên đường trung trực của đoạn $SA$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp thỏa mãn:

$R^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2$

Thay số: $R^2 = \left(\dfrac{2a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$R^2 = a^2 + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4}$

$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$

Đáp án D

Ta có:

Gọi I là trung điểm của SC. Theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SAC vuông tại A, mà tam giác SBC vuông tại B nên I cách đều các đỉnh của hình chóp hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khi đó ta có bán kính: r = SC/2 = a

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên $BC$ là cạnh huyền và: $BC = a$.

=> tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm $O$ của $BC$ và:
$OB = OC = OA = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Cạnh bên $SB \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng đáy là điểm $B$.

Gọi $h = SB$.

Xét tam giác $SBC$, ta có góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$, nên: $\sin 60^\circ = \dfrac{SB}{SC}$.

Mà: $SC^2 = SB^2 + BC^2 = h^2 + a^2$.

Do đó: $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{h^2 + a^2}$

$\Rightarrow 3(h^2 + a^2) = 4h^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt{3}$.

Do $SB \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.

Ta có:
$SO^2 = SB^2 + BO^2 = (a\sqrt{3})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = 3a^2 + \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{13a^2}{4}$.

=> $SO = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a\sqrt{13}}{4}$.

So sánh với các đáp án đã cho, ta có:
$\dfrac{a\sqrt{13}}{4} \approx a$.