Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$

Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$

$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của S trên A C ⇒ S H ⊥ A B C  

Kẻ  H M ⊥ A B M ∈ A B , H N ⊥ A C N ∈ A C

Suy ra S A B ; A B C ^ = S B C ; A B C ^ = S M H ^ = S N H ^ = 60 °  

⇒ ∆ S H M = ∆ S H N ⇒ H M = H N ⇒ H  là trung điểm của AC

Tam giác SHM vuông tại H, có tan S M H ^ = S H H M ⇒ S H = a 3 2  

Diện tích tam giác ABC là S ∆ A B C = 1 2 . A B . B C = a 2 2  

Vậy thể tích cần tính là V = 1 3 . S H . S A B C = 1 3 . a 3 2 . a 2 2 = a 3 3 12

Đáp án D.

M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Gọi $d(A,(SCD)) = a$ và góc giữa $(SCD)$ và đáy là $30^\circ$.

Khi đó chiều cao từ $A$ tới $(SCD)$ là: $d = h \sin 30^\circ = \dfrac{h}{2} = a \Rightarrow h = 2a$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot 2a = \dfrac{2 a^3}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{2 a^3}{3}$

Chọn B.

Chọn đáp án D.

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $BC = a\sqrt3$ nên:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot a\sqrt3 = a^2\sqrt3$.

Vì $(SAD)\perp(ABCD)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy thuộc $AD$.

Tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Suy ra: $AH = HC = \dfrac{AC}{2} = a$.

Xét mặt phẳng $(ACD)$ và đường thẳng $SD$, góc giữa $SD$ và $(ACD)$ bằng $60^\circ$ nên: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{DH}$.

Ta có: $D(0, a\sqrt3), A(0,0), C(a, a\sqrt3)$ nên trung điểm $H$ của $AC$ có tọa độ $(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt3}{2})$.

Suy ra: $DH = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{2} - a\sqrt3\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}}= a$.

Do đó: $\sqrt3 = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow SH = a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABCD} \cdot SH= \dfrac13 \cdot a^2\sqrt3 \cdot a\sqrt3= a^3$.

Vậy $V = a^3$.

Đáp án B

Nối S O ∩ A N = E , qua E kẻ đường thẳng song song với BD. Cắt SB,SD lần lượt tại M , P ⇒ m p P ≡ A M N P .  

Ta có S A ⊥ A B , S A ⊥ A D ⇒ S A ⊥ A B C D ⇒ B C ⊥ S A B .  

Mà SC ⊥ A M N P ⇒ S C ⊥ A M  suy ra A M ⊥ S B C .  

Do đó A M ⊥ M C  mà O là trung điểm của A C ⇒ O A = O M = O C .  

Tương tự, ta chứng minh được O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

 đa diện A B C D . M N P ⇒ R = A C 2 = 4 a 3 2 = 2 a 3 .  

Vậy thể tích cần tính là  V = 4 3 π R 3 = 4 3 π 2 3 3 = 32 3 π a 3 .

Đáp án C