Đáp ván A

Vì I là hình chiếu của S trên (ABCD)

⇒ ( S C → , ( A B C D ) ) = S C I ⏞

⇒ S I = I C . tan 60 ° = a 5 2 . tan 60 ° = a 15 2

Vậy  

V S . I B C = V S . A B C D - V S . A I B - V S . I C D = 1 3 . a 15 2 a + 2 a 2 . a - 1 2 . a 2 . 2 a - 1 2 . a 2 . a = a 3 15 8

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ D(a,0,0),\ B(2a,0,0),\ C(a, a,0)$.

Trung điểm $I$ của $AD$: $I\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Hình chiếu của $S$ lên đáy là $I$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều cao $h$ được xác định từ:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2 + h^2}}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{5a^2}{4} + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{5a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2$

$ \Rightarrow \dfrac{15a^2}{4} + 3h^2 = 4 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Thể tích khối chóp $S.IBC$:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle IBC} \cdot SI$

Tính diện tích $\triangle IBC$:

$\vec{IB} = (2a - \frac{a}{2}, 0 - 0, 0) = \left(\frac{3a}{2},0,0\right)$

$\vec{IC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0) = \left(\frac{a}{2},a,0\right)$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{IB} \times \vec{IC}|$

$\vec{IB} \times \vec{IC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{3a}{2} & 0 & 0 \ \frac{a}{2} & a & 0 \end{vmatrix} = (0,0, \frac{3a^2}{2})$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} \cdot \frac{3a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$

Chiều cao: $SI = h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{8}$

Đáp án D

Dựng HK ⊥ BD, do SH ⊥ BD nên ta có:

(SKH) ⊥ BD =>  Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 60⁰

Lại có: 

Do đó

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$ tính theo tọa độ: $BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{a^2}{4} + 9a^2 + h^2} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$

$\dfrac{111 a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$

Chọn đáp án D.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10 a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (B_x - D_x)^2 + (B_y - D_y)^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \implies b^2 = 9 a^2 \implies b = 3a$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{SD_x^2 + SD_y^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

với $SD_x^2 + SD_y^2 = \left(\dfrac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 3a)^2 = \dfrac{a^2}{4} + 9 a^2 = \dfrac{37 a^2}{4}$.

Giải ra $h$:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2}} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

Đáp án A

Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông  góc với giao tuyến.

Cách giải:

Kẻ IH ⊥ CD ta có: 

Ta có: 

Gọi E là trung điểm của AB => EC = AD = 2a

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a^3$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Chiều cao:

$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa đường $SH$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ tại hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy.

Vì $SH \perp (ABCD)$, ta có góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng $60^\circ$.

Đáp án C

Tam giác SAD đều cạnh 2 a ⇒ S H = a 3 ⇒ H C − 2 a 3 .  

Kẻ BK vuông góc H C ⇒ B K ⊥ S H C ⇒ B K − 2 a 6  

Diện tích tam giác BHC là S Δ B H C = 1 2 B K . H C = 6 a 2 2  

Mà S A B C D = S Δ H A B + S Δ H C D + S Δ H B C = 1 2 S A B C D + S Δ H B C ⇒ S A B C D = 2   x   S Δ H B C = 12 a 2 2  

V S . A B C D = 1 3 . S H . S Δ H B C = 1 3 . a 3 .12 a 2 2 = 4 6 a 3  

Đáp án là C