Đáp án C

Ta có: H C = B H 2 + B C 2 = a 2  

S H = H C . tan   S C H = a 2 . tan 60 ∘ = a 6 A C = B A 2 + B C 2 = a 5 , S B = S H 2 + H B 2 = a 7  

Ta có: S B → . A C → = S H → + H B → . A C → = H B . A C . cos B A C  

⇔ S B → . A C → = H B . A C . A B A C = 2 a 2 S B . A C = a 7 . a 5 = a 2 35 ⇒ c os S B , A C = S B → . A C → S B . A C = 2 a 2 a 2 35 ⇒ S B , A C = 70 o 14 ' 28 , 22 ' '

Trong mặt phẳng (ABC), qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Kẻ H I ⊥ d  , dễ thấy A I ⊥ S H I . Trong tam giác vuông SHI kẻ H K ⊥ S I  , nhận thấy H K ⊥ S I A .

Ta có d S A , B C = d B , S I A = 3 2 d H , S I A = 3 2 H K  

Ta tính được H = H A . sin 60 o = a 3 3  

Ta có S C H ^ = S C ; A B C ^ , suy ra S H = a 21 3  

Từ 1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H I 2  ta thu được H K = a 42 12  

Suy ra d S A , B C = 3 2 H K = a 42 8

Đáp án C

Chọn đáp án A

Đáp án A.

Đáp án A.

Ta có   S C H ^ = 60 ° và

H C = a 7 3 ; S H = H C tan S C H ^ = a 21 3

Từ A kẻ tia A x / / C B  (như hình vẽ). Khi đó B C / / S A x  và do B A = 3 2 H A  nên

d B C , S A = d B C , S A x = d B , S A x = 3 2 d H , S A x

Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN.

Do A N ⊥ S H N  và H K ⊥ S N  nên H K ⊥ S A N . Khi đó d B C , S A = 3 2 H K .

Ta có

A H = 2 a 3 ; H N = A H sin N A H ^ = a 3 3 .

Suy ra H K = H N . H S H N 2 + H S 2 = a 42 12 . Vậy d B C , S A = a 42 8 .

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$

Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$

$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

Đáp án C