Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow\widehat{SMO}=45^0\)

\(OM=\dfrac{1}{2}AB=a\sqrt{2}\)

\(SO=OM.tan45^0=a\sqrt{2}\)

\(OA=\dfrac{1}{2}AC=2a\)

\(\Rightarrow SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=a\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=9\sqrt{2}\pi a^3\)

\(AC=2a\sqrt{2}.\sqrt{2}=4a\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2}AC=2a\)

\(\Rightarrow SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=2a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=...\)

Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm AB

\(OA=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)  ; \(OM=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(\widehat{SMO}=45^0\Rightarrow SO=OM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{125\pi a^3\sqrt{3}}{432}\)

Tính V/πa³

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(SA=\dfrac{AO}{cos60^0}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=a\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{2a}{3}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{32\pi a^3}{81}\)

\(\Rightarrow\dfrac{V}{\pi a^3}=\dfrac{32}{81}\)

Đáp án đúng : A

Gọi \(I\) là tâm của đáy \(ABCD\) (giao điểm của \(AC\) và \(BD\))

a) Vì đây là hính chóp đều nên có ngay \(SI\) là đường cao kẻ từ S

\(SI=\sqrt{SA^2-AI^2}=\sqrt{SA^2-\frac{AB^2}{2}}=a\sqrt{2}\)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SI.S_{ABCD}=\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}\)

b) Thấy ngay \(IA=IB=IC=ID=IS=a\sqrt{2}\)

suy ra tâm mc ngoại tiếp là \(I\) và \(R=a\sqrt{2}\)

c) bạn dùng công thức sau để tính bán kính mặt cầu nội tiếp

\(r=\frac{3V_{S.ABCD}}{S_{ABCD}+4S_{SAB}}=\frac{\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}}{4a^2+4.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{3}.a\)

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow OA=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{a\sqrt[]{33}}{3}\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{32a^3\sqrt{3}\pi}{11\sqrt{11}}\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2a\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC=a\)

GỌi N là trung điểm SA \(\Rightarrow AN=\dfrac{1}{2}SA=a\)

Dựng hình chữ nhật AMIN \(\Rightarrow\) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

\(R=IA=\sqrt{AM^2+AN^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=...\)