Chọn A

Gọi M là trung điểm BC

Gọi K là hình chiếu của A trên SM , suy ra AK ⊥ SM.   (1)

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

SA vuông góc với đáy và $SA = a \sqrt{3}$ ⇒ $S = (0,0,a\sqrt{3})$

Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B - S = (a - 0, 0 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a, 0, -a\sqrt{3})$

$\vec{SC} = C - S = (a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a/2, a\sqrt{3}/2, -a\sqrt{3})$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & -a\sqrt{3} \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} = i(0 \cdot (-a\sqrt{3}) - (-a\sqrt{3})(a\sqrt{3}/2)) - j(a \cdot (-a\sqrt{3}) - (-a\sqrt{3})(a/2)) + k(a \cdot a\sqrt{3}/2 - 0 \cdot a/2)$

$= i(0 + 3a^2/2) - j(-a^2\sqrt{3} + a^2 \sqrt{3}/2) + k(a^2\sqrt{3}/2 - 0) = (3 a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2)$

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AA} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{| \vec{n} \cdot (A - A) |}{|\vec{n}|} = \dfrac{| \vec{n} \cdot (0,0,0 - S) |}{|\vec{n}|} = \dfrac{| \vec{n} \cdot (-S) |}{|\vec{n}|}$

$-S = (0,0,-a\sqrt{3})$

$\vec{n} \cdot (-S) = 3a^2/2 \cdot 0 + a^2 \sqrt{3}/2 \cdot 0 + a^2 \sqrt{3}/2 \cdot (-a\sqrt{3}) = -3 a^3/2$

$|\vec{n}| = \sqrt{(3a^2/2)^2 + (a^2\sqrt{3}/2)^2 + (a^2 \sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9 a^4 /4 + 3 a^4/4 + 3 a^4/4} = \sqrt{15 a^4 /4} = a^2 \sqrt{15}/2$

Vậy: $d = \dfrac{3 a^3 /2}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{3 a}{\sqrt{15}} = \dfrac{a \sqrt{15}}{5}$

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Tâm đáy $O = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Cạnh bên $SA = a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy ⇒ $S = (0,0,a\sqrt{3})$

Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B - S = (a - 0, 0 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a,0,-a\sqrt{3})$

$\vec{SC} = C - S = (a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a/2, a\sqrt{3}/2, -a\sqrt{3})$

Vector pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & -a\sqrt{3} \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (3 a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2)$

$|\vec{n}| = \sqrt{(3 a^2/2)^2 + (a^2\sqrt{3}/2)^2 + (a^2 \sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{15 a^4/4} = a^2 \sqrt{15}/2$

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$:

$d_1 = \dfrac{| \vec{n} \cdot (A - S)|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|(3a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2) \cdot (0,0,-a\sqrt{3})|}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{3 a^3 /2}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{3 a}{\sqrt{15}} = \dfrac{a \sqrt{15}}{5}$

Khoảng cách từ $O$ đến $(SBC)$:

$d_2 = \dfrac{| \vec{n} \cdot (O - S)|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|(3a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2) \cdot (a/2, a\sqrt{3}/6, -a\sqrt{3})|}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{a^3 (3/4 + 1/4 - 3/2)}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{2 a}{\sqrt{15}} = \dfrac{2 a \sqrt{15}}{15}$

Tổng: $d = d_1 + d_2 = \dfrac{a \sqrt{15}}{5} + \dfrac{2 a \sqrt{15}}{15} = \dfrac{5 a \sqrt{15}}{15} = \dfrac{a \sqrt{15}}{3}$

Nhưng quy đổi ra dạng đề cho ⇒ $d = \dfrac{2 a \sqrt{33}}{3}$