Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là:

$OA = OB = OC = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Mặt khác: $OM = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 - OM^2 = \dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{a^2}{12} = \dfrac{8a^2}{12} = \dfrac{2a^2}{3}$.

$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8} \cdot \dfrac{2\sqrt2}{3\sqrt3} = \dfrac{a^3\pi\sqrt6}{27}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi a^3\sqrt6}{27}$.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.

Các cạnh bên:

$SA = SB = SC = 2$.

Xét tam giác $ABC$:

$AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2$ nên vuông tại $B$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(2,0,0),\ C(0,2,0)$.

Gọi $S(x,y,z)$ thỏa:

$SA^2 = SB^2 = SC^2 = 4$.

Từ $SB^2 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 4$.

Từ $SA^2 = 4 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow x = 1$.

Từ $SC^2 = 4 \Rightarrow x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 4 \Rightarrow y = 1$.

Thay vào: $1 + 1 + z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \sqrt2$.

Suy ra $S(1,1,\sqrt2)$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $OS$ với $O(0,0,0)$:

$I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.

Bán kính:

$R = IA = \sqrt{\left(2 - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt3)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3\sqrt3 = 4\pi\sqrt3$.

Vậy $V = 4\pi\sqrt3$.

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SAO}=60^0\)

\(AO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(SA=\dfrac{AO}{cos60^0}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(S_{xq}=\pi.AO.SA=\dfrac{2\pi a^2}{3}\)

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SAO}=60^0\Rightarrow AO=SA.cos60^0=a\)

\(R=a;l=2a\Rightarrow h=SO=\sqrt{\left(2a\right)^2-a^2}=a\sqrt{3}\)

\(V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi a^3\)

Đáp án đúng : B

Tính V/πa³

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(SA=\dfrac{AO}{cos60^0}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=a\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{2a}{3}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{32\pi a^3}{81}\)

\(\Rightarrow\dfrac{V}{\pi a^3}=\dfrac{32}{81}\)

Đáp án B

Từ giả thiết ta có SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SA=SB=a. Trong mặt phẳng (SAO), trung trực của cạnh SA cắt SO tại I thì I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khi đó ta tính được:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥(ACBD)

Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp(ABCD)