B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

+)Gọi H là chân đường cao hạ từ A - -> BC 
Tam giác AHC vuông tại H nên 
AH = √(a² -a²/4) = a√3/2 
Diện tích tam giác ABC là S(ABC) = 1/2.AH.BC= 1/2.a²√3/2 
(dvdt) 
+)Từ S hạ SK ┴ AH , Kết hợp AH ┴ BC ta có SK ┴ (ABC) 
Hay SK là đường cao của hình chóp đều SABC 
+) Bài cho góc giữa các mặt bên với đáy là 60 độ nên 
góc giữa (SH,HK) = 60 độ 
Tam giác vuông SKH có SK = HK.tan(60) 
Tam giác vuông BKH có HK = a/2.tan(30) = a√3/6 
- - > SK = a√3/6.tan(60) = a/2 
Vậy V(SABC) =1/3.SK.S(ABC) = 1/3.a/2.1/2.a²√3/2 
= a³√3/24 (dvtt)

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến SM. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH. Ta có:

Tam giác $SBC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow SB = SC = BC = a$

Gọi $H$ là chân đường cao của tam giác đều $SBC$ hạ xuống $BC$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng đáy.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $30^\circ$

$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{SA}{AH}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông tạo bởi $SA, AH, SH$:

$SH^2 = SA^2 + AH^2$

$\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{AH}{\sqrt{3}}\right)^2 + AH^2$

$\dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{AH^2}{3} + AH^2 = \dfrac{4}{3}AH^2$

$\Rightarrow AH^2 = \dfrac{9a^2}{16}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{3a}{4}$

Suy ra:

$SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}} = \dfrac{3a}{4\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{3a}{4} = \dfrac{3a^2}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3a^2}{8}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

Chọn B

Đáp án C

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$

$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA$

Theo đề bài:

$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot SA = a^3$

=> $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot SA = a^3$

$SA = \dfrac{12a^3}{a^2\sqrt{3}} = \dfrac{12a}{\sqrt{3}} = 4a\sqrt{3}$

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ thỏa mãn:

$d = SA \cdot \sin \widehat{(SA,(SBC))}$

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ chính là góc giữa $AH$ và $SA$, với $H$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác đều $ABC$:

$AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác vuông $SAH$:

$\sin \widehat{(SA,(SBC))} = \dfrac{AH}{SA} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{4a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{8}$

=> $d = SA \cdot \dfrac{1}{8} = 4a\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\boxed{d = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

Chọn B

Chọn D

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Vì góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{d(H,(SBC))}$

=> $d(H,(SBC)) = SH\cdot \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}SH$.

Xét tam giác $HBC$ vuông cân tại $H$ nên:

$HB = HC$ và $BC = a$.

Do đó:

$HB = HC = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Diện tích tam giác $HBC$ là:

$S_{HBC} = \dfrac12 HB\cdot HC = \dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} = \dfrac{a^2}{4}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:

$V = \dfrac13 S_{HBC}\cdot SH$.

Theo giả thiết $V = a^3$, suy ra:

$a^3 = \dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot SH$
$\Rightarrow SH = 12a$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ chính là:

$d(A,(SBC)) = d(H,(SBC)) = \dfrac{\sqrt3}{2}SH$.

Thay $SH = 12a$:

$d(A,(SBC)) = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot12a = 6a\sqrt3$.

Vậy $d(A,(SBC)) = \boxed{6a\sqrt3}$.

Chọn B.

Đáp án B

Tam giác $SBC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow BC = SB = SC = a$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $S$ xuống $BC$ trong mặt phẳng $(SBC)$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng đáy

Gọi $AH$ là hình chiếu của $SH$ lên mặt phẳng đáy.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $30^\circ$

$\Rightarrow \tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{SA}{AH}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông tạo bởi $SH, SA, AH$:

$SH^2 = SA^2 + AH^2$

$\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{AH}{\sqrt{3}}\right)^2 + AH^2$

$\dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{AH^2}{3} + AH^2 = \dfrac{4}{3}AH^2$

$\Rightarrow AH^2 = \dfrac{9a^2}{16}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{3a}{4}$

=> $SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}} = \dfrac{3a}{4\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{3a}{4} = \dfrac{3a^2}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3a^2}{8}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{4}= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của BC, ∆ S B C  đều  ⇒ S M ⊥ B C

Mà S A ⊥ ( A B C ) ⇒ S A ⊥ B C  và S M ⊥ B C  suy ra  B C ⊥ ( S A M )

Ta có:

Xét tam giác SAM vuông tại A có:

⇒ S A B C = 1 2 A M . B C = 3 a 2 8

⇒ V S . A B C = 1 3 S A . S A B C = a 3 3 32

Tam giác $SBC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow SB = SC = BC = a$

Gọi $H$ là chân đường cao của tam giác đều $SBC$ hạ xuống $BC$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng đáy.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $30^\circ$

$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{SA}{AH}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông tạo bởi $SA, AH, SH$:

$SH^2 = SA^2 + AH^2$

$\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{AH}{\sqrt{3}}\right)^2 + AH^2$

$\dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{AH^2}{3} + AH^2 = \dfrac{4}{3}AH^2$

$\Rightarrow AH^2 = \dfrac{9a^2}{16}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{3a}{4}$

=> $SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}} = \dfrac{3a}{4\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{3a}{4} = \dfrac{3a^2}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3a^2}{8}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

Chọn đáp án: B

Ta có hình chóp $S.ABC$ với $SA \perp (ABC)$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Diện tích tam giác $ABC$ là
$S_{ABC} = \dfrac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin120^\circ$
$S_{ABC} = \dfrac12 \cdot a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac13 \cdot S_{ABC} \cdot SA$

Theo đề bài: $\dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot SA = \dfrac{3a^3}{24}$

=> $\dfrac{a^2\sqrt3}{12} \cdot SA = \dfrac{a^3}{8}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{3a}{2\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Trong tam giác $ABC$ ta có:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos120^\circ$

$BC^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 \Rightarrow BC = a\sqrt3$

Do $SA \perp (ABC)$ nên:
$S_{SBC} = \dfrac12 \cdot BC \cdot SA$

$S_{SBC} = \dfrac12 \cdot a\sqrt3 \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$, ta có:
$V = \dfrac13 \cdot S_{SBC} \cdot d$

=> $d = \dfrac{3V}{S_{SBC}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{3a^3}{24}}{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{a}{2}$

Vậy $d = \dfrac{a}{2}$. Chọn D.