Đáp án A.

Chọn B.

Gọi M là trung điểm BC, I = EF ∩ SM, suy ra I là trung điểm EF và SM.

Có  => AF = AE => AEF cân tại A => AI ⊥ EF.

Tam giác ASM có AI ⊥ SM và I là trung điểm SM nên ASM cân tại A, suy ra SA = AM =  a 3 2 .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC 

Trong tam giác SAG có: 

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là 

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính các cạnh:

$SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên

$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$

$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

Suy ra: $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

$\Rightarrow V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Khối cần tìm:

$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$

Đáp án A

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính các cạnh: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên:

$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$

$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

Suy ra tỉ số thể tích:

$\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Khối cần tìm:

$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$

Chọn B

Ta có B C ⊥ S M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM. Do

  và FE đi qua H.

Vậy H là trung điểm cạnh SM. Suy ra tam giác SAM vuông cân tại A

⇒ S A = a 3 2 V S A B C = 1 3 . a 3 2 . a 2 3 4 = a 3 8

S H = S A 2 - A H 2 = a

Thể tích khối chóp S.ABC là:

⇒ Thể tích khối chóp S.DBC là:

Đáp án B

Tam giác $SBC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow BC = SB = SC = a$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $S$ xuống $BC$ trong mặt phẳng $(SBC)$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng đáy

Gọi $AH$ là hình chiếu của $SH$ lên mặt phẳng đáy.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $30^\circ$

$\Rightarrow \tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{SA}{AH}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông tạo bởi $SH, SA, AH$:

$SH^2 = SA^2 + AH^2$

$\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{AH}{\sqrt{3}}\right)^2 + AH^2$

$\dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{AH^2}{3} + AH^2 = \dfrac{4}{3}AH^2$

$\Rightarrow AH^2 = \dfrac{9a^2}{16}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{3a}{4}$

=> $SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}} = \dfrac{3a}{4\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{3a}{4} = \dfrac{3a^2}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3a^2}{8}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{4}= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$