Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn A.
Gọi K là trung điểm của AB.
DC//AB => DC//(SAB)=> DC//MN
Do đó
Đáp án A
Công thức giải nhanh: Nếu hình chóp O.ABC có OA, OB và OC đôi một vuông góc với nhau thì
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,2a,0)$.
Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và $(SAD)\perp(ABCD)$ nên: $S\left(0,a,a\sqrt3\right)$.
Xét khối chóp $S.ABC$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S,A,B,C$.
Do $A,B,C$ nằm trên mặt phẳng $z=0$ nên: $O(x,y,z)$.
Ta có: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = OS^2$.
Từ $OA = OB$: $x = \dfrac{a}{2}$.
Từ $OB = OC$: $y = \dfrac{a}{2}$.
Suy ra: $O\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},z\right)$.
Từ $OA = OS$: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2= \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}-a\right)^2 + (z - a\sqrt3)^2.$
Giải ra: $z = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Bán kính: $R = OA = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}}= \sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}= \dfrac{a\sqrt5}{2}.$
Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{5a^2}{4}= 5\pi a^2.$
Vậy $S = 5\pi a^2$.
Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm.
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = \dfrac{AC \cdot BD}{2} = \dfrac{a\sqrt3 \cdot a}{2} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$
Đặt hệ trục tọa độ: $A\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},0,0\right),\ C\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},0,0\right),\ B\left(0,\dfrac{a}{2},0\right),\ D\left(0,-\dfrac{a}{2},0\right)$.
Vì $(SAB)$ vuông góc với đáy và tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy qua trung điểm $H$ của $AB$.
$H\left(-\dfrac{a\sqrt3}{4},\dfrac{a}{4},0\right)$, đặt $S\left(-\dfrac{a\sqrt3}{4},\dfrac{a}{4},h\right)$.
Ta có $SA = SB$ và $\angle ASB = 90^\circ$:
$\vec{SA} = \left(-\dfrac{a\sqrt3}{4}, -\dfrac{a}{4}, -h\right),\ \vec{SB} = \left(\dfrac{a\sqrt3}{4}, \dfrac{a}{4}, -h\right)$
Điều kiện vuông góc:
$\vec{SA} \cdot \vec{SB} = -\dfrac{3a^2}{16} - \dfrac{a^2}{16} + h^2 = 0$
$\Rightarrow h^2 = \dfrac{4a^2}{16} = \dfrac{a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$
Vậy: $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$
Chọn C.
