a: BC vuông góc SA

BC vuôg góc AB

=>BC vuông góc (SAB)

b: BI vuông góc SA
BI vuông góc AC

=>BI vuông góc (SAC)

1) Ta có : \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

BC \(\perp AB;BC\perp SA\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\) \(\Rightarrow\Delta SBC\perp\) tại B 

2) \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\) . Mà 

\(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp HK\)  \(\Rightarrow\Delta AHK\perp\) tại H 

\(\Delta SAB\perp\) tại A ; \(AH\perp SB\) có : \(AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a^2}{\sqrt{2a^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\)

AC = \(\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a\)

\(\Delta SAC\perp\) tại A có : \(AK\perp SC\) có : 

\(AK=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a.\sqrt{2}a}{\sqrt{a^2+2a^2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a\)

\(HK=\sqrt{AK^2-AH^2}=\sqrt{\dfrac{2}{3}a^2-\dfrac{1}{2}a^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a\)

\(S_{AHK}=\dfrac{1}{2}HA.HK=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}a.\dfrac{\sqrt{6}}{6}a=\dfrac{\sqrt{3}}{12}a^2\)

3) AH \(\perp\left(SBC\right)\Rightarrow\left(AK;\left(SBC\right)\right)=\widehat{AKH}\)

\(\Delta AHK\perp\) tại H có : \(sin\widehat{AKH}=\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a:\dfrac{\sqrt{6}}{3}a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{AKH}=60^o\)

Ta có:
$\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AB = AC = a,\ AB \perp AC$.

Lại có:
$SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp AB,\ SA \perp AC$.

Và:
$SA = a\sqrt{3}$.

Ta có:
$AC \perp AB$ và $AC \perp SA$.

Mà $AB,\ SA$ là hai đường cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ nên:
$AC \perp (SAB)$.

Lại có:
$AC \subset (SAC)$.

Suy ra:
$(SAB)\perp (SAC)$.

Vì $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$M$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra:
$AM \perp BC$.

Lại có:
$SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.

Do đó:
$BC \perp SA$ và $BC \perp AM$.

Mà $SA,\ AM$ là hai đường cắt nhau thuộc mặt phẳng $(SAM)$ nên:
$BC \perp (SAM)$.

Suy ra:
$BC \perp SM$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(ABC)$ là $AC$.

Do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là:
$\widehat{SCA}$.

Xét tam giác vuông $SAC$ tại $A$:

$SA = a\sqrt{3},\ AC = a$.

Ta có:
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}$

$=\sqrt{3a^2+a^2}$

$=2a$.

Suy ra:
$\sin \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{SC}$

$=\dfrac{a\sqrt3}{2a}$

$=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Vậy:
$\widehat{(SC,(ABC))}=60^\circ$.

Ta có: H là trung điểm SA, K là trung điểm AB

\(\Rightarrow\) HK là đường trung bình tam giác SAB

\(\Rightarrow HK||SB\)

Mà \(SB\perp\left(ABC\right)\Rightarrow HK\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow HK\perp AB\) (1)

I là trung điểm BC, K là trung điểm AB \(\Rightarrow\) IK là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow IK||AC\Rightarrow IK\perp AB\)  (2) (do \(AB\perp AC\) theo gt)

(1);(2) \(\Rightarrow AB\perp\left(IHK\right)\Rightarrow AB\perp IH\)

S A B C I H O K

a) \(SB^2=AS^2+AB^2=AS^2+AC^2=SC^2\Rightarrow SB=SC\) => \(\Delta\)SBC cân tại S

Do đó: AO,SH cắt nhau tại trung điểm I của cạnh BC

Xét \(\Delta\)SBC: trực tâm H, đường cao SI => \(IH.IS=IB.IC\)(1)

Tương tự: \(IB.IC=IO.IA\)(2)

Từ (1);(2) => \(IH.IS=IO.IA\)=> \(\Delta\)IHO ~ \(\Delta\)IAS => ^IHO = ^IAS = 90⁰ => OH vuông góc IS (3)

Ta có: BC vuông góc với AI,AS => BC vuông góc với (SAI) => BC vuông góc OH (4)

Từ (3);(4) => OH vuông góc (SBC).

b) Xét tam giác SKI: IO vuông góc SK tại A, KO vuông góc SI tại H (cmt) => O là trực tâm tam giác SKI

Vậy SO vuông góc IK.