a: Xét ΔMHQ vuông tại H và ΔPKN vuông tại K có 

MQ=PN

\(\widehat{MQH}=\widehat{PNK}\)

Do đó: ΔMHQ=ΔPKN

Suy ra: MH=PK

Theo tính chất: Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, ta suy ra I là trung điểm của NQ và MP.

Xét tam giác MQN có I là trung điểm NQ, IE // MN nên IE là đường trung bình tam giác.

Vậy nên IE = MN/2

Tương tự IF là đường trung bình tam giác ANP nên IF = MN/2

Vậy nên IE = IF hay I là trung điểm EF.

a) Xét tam giác QMN có :

A là trung điểm của MN

B là trung điểm của MQ

=) AB là đường trung bình của tam giác QMN

=) AB // MQ Và AB=\(\frac{1}{2}\)MQ (*)

Xét tam giác QPN có :

C là trung điểm của QP

D là trung điểm của NP

=) CD là đường trung bình của tam giác QPN

=) CD // QN Và CD=\(\frac{1}{2}\)QN (**)

Từ (*) và (**) =) Tứ giác ABCD là hình bình hành  (1)

Xét tam giác MQP có :

B là trung điểm của MQ

C là trung điểm của QP

=) BC là đường trung bình của tam giác MQP

=) BC // MP

Do MNPQ là hình thoi =) MP\(\perp\)NQ

Mà BC // MP và AB // NQ

=) BC\(\perp\)AB   (2)

Từ (1) và (2) =) ABCD là hình chữ nhật

b) Ta có : MQ=QP

Do B là trung điểm của MQ =) MB=BQ=\(\frac{MQ}{2}\)

Do C là trung điểm của QP =) QC=CP=\(\frac{QP}{2}\)

=) QB=QC

Do MNPQ là hình thoi =) QM là đường phân giác \(\widehat{MQP}\)

=) \(\widehat{MQN}\)=\(\widehat{NQP}\)=\(\frac{\widehat{MQP}}{2}\)

Xét tam giác QMN có:

MQ=MQ và \(\widehat{QMN}\)=60⁰

=) QMN là tam giác đều

Xét tam giác MQN có :

NQ là đường trung tuyến=) NQ là đường phân giác của \(\widehat{MNQ}\)

=) \(\widehat{MNB}\)=\(\widehat{BNQ}\)=\(\frac{\widehat{MNQ}}{2}\)=\(\frac{60^0}{2}\)= 30⁰

Xét tam giác QBN và tam giác QCN có :

QB=QC ( chứng minh trên )

\(\widehat{BQN}\)=\(\widehat{CQN}\) ( chứng minh trên )

QN là cạch chung

=) tam giác QBN = tam giác QCN (c-g-c)

=)\(\widehat{BNQ}\)=\(\widehat{QNC}\) =30⁰ (2 góc tương ứng ) và BN=CN ( 2 cạch tương ứng )

=) Tam giác BNC là tam giác cân tại N (3)

Ta có : \(\widehat{BNQ}\)+\(\widehat{QNC}\)=\(\widehat{BNC}\)

       =) 30⁰ +30⁰ =\(\widehat{BNC}\)

      =) \(\widehat{BNC}\)=60⁰  (4)

Từ (3) và (4) =) Tam giác BNC là tam giác đều

a: Xét hình thang MNPQ có 

A là trung điểm của MQ

B là trung điểm của NP

Do đó: AB là đường trung bình của hình thang MNPQ

Suy ra: AB//MN//PQ

Xét ΔQMN có AI//MN

nên \(\dfrac{AI}{MN}=\dfrac{AQ}{QM}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔPMN có KB//MN

nên \(\dfrac{KB}{MN}=\dfrac{1}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra AI=KB

a: Xét ΔMNQ có

A,B lần lượt là trung điểm của MN,MQ

=>AB là đường trung bình của ΔMNQ

=>AB//NQ và \(AB=\frac{NQ}{2}\)

Xét ΔPNQ có

C,D lần lượt là trung điểm của PQ,PN

=>CD là đường trung bình của ΔPNQ

=>CD//NQ và \(CD=\frac{NQ}{2}\)

Xét ΔNMP có

A,D lần lượt là trung điểm của NM,NP

=>AD là đường trung bình của ΔNMP

=>AD//MP và \(AD=\frac{MP}{2}\)

AB//NQ

CD//NQ

Do đó: AB//CD
\(AB=\frac{NQ}{2}\)

\(CD=\frac{NQ}{2}\)

Do đó: AB=CD

AD//MP

MP⊥NQ(MNPQ là hình thoi)

Do đó: AD⊥NQ

AD⊥NQ

AB//NQ

Do đó: AB⊥ AD

Xét tứ giác ABCD có

AB//CD
AB=CD

Do đó: ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có AB⊥ AD
nên ABCD là hình chữ nhật

b: Xét ΔMNQ có MN=MQ và \(\hat{NMQ}=60^0\)

nên ΔMNQ đều

ΔMNQ đều

mà NB là đường trung tuyến

nên NB là phân giác của góc MNQ

=>\(\hat{MNB}=\hat{QNB}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

ΔMNQ đều

=>NQ=MN=MQ

=>NQ=MN=MQ=NP=PQ

Xét ΔPNQ có PN=PQ=NQ

nên ΔPNQ đều

=>\(\hat{PNQ}=\hat{PQN}=60^0\)

ΔNPQ đều

mà NC là đường trung tuyến

nên NC là phân giác của góc PNQ

=>\(\hat{PNC}=\hat{CNQ}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

TA có: \(\hat{BNC}=\hat{BNQ}+\hat{CNQ}\) (tia NQ nằm giữa hai tia NB và NC)

=>\(\hat{BNC}=30^0+30^0=60^0\)

TA có: \(MA=AN=\frac{MN}{2}\)

\(MB=BQ=\frac{MQ}{2}\)

\(ND=DP=\frac{NP}{2}\)

\(PC=CQ=\frac{PQ}{2}\)

mà MN=MQ=NP=PQ

nên MA=AN=MB=BQ=ND=DP=PC=CQ

Xét ΔNQB và ΔNQC có

NQ chung

\(\hat{NQB}=\hat{NQC}\)

QB=QC

Do đó: ΔNQB=ΔNQC
=>NB=NC

Xét ΔNBC có NB=NC và \(\hat{BNC}=60^0\)

nên ΔNBC đều

c: AB=NQ/2

AB=BE/2

Do đó: NQ=BE

Xét tứ giác NQBE có

NQ//BE

NQ=BE

Do đó: NQBE là hình bình hành

=>NB cắt QE tại trung điểm của mỗi đường

mà F là trung điểm của NB

nên F là trung điểm của QE

=>Q đối xứng E qua F

a: Xét ΔMNQ có 

A là trung điểm của MN

B là trung điểm của MQ

Do đó: AB là đường trung bình của ΔMNQ

Suy ra: AB//NQ và AB=NQ/2(1)

Xét ΔNPQ có

C là trung điểm của QP

D là trung điểm của NP

Do đó: CD là đường trung bình của ΔNPQ

Suy ra: CD//NQ và CD=NQ/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành