Gọi E là giao điểm của AG và BD, F là giao điểm của AK và BC

Theo đề, ta có: \(\frac{DG}{GC}=\frac12;\frac{BK}{KC}=\frac32\)

=>\(\frac{DG}{DC}=\frac13;\frac{BK}{BC}=\frac35\)

=>\(\frac{DG}{AB}=\frac13;\frac{BK}{AD}=\frac35\)

Xét ΔEGD và ΔEAB có

\(\hat{EGD}=\hat{EAB}\) (hai góc so le trong, GD//AB)

\(\hat{GED}=\hat{AEB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEGD~ΔEAB

=>\(\frac{ED}{EB}=\frac{DG}{AB}=\frac13\)

=>\(\frac{DE}{DB}=\frac14\)

=>\(DE=\frac{DB}{4}=\frac{16}{4}=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔFBK và ΔFDA có

\(\hat{FBK}=\hat{FDA}\) (hai góc so le trong, BK//DA)

\(\hat{BFK}=\hat{DFA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔFBK~ΔFDA

=>\(\frac{FB}{FD}=\frac{BK}{DA}=\frac35\)

=>\(\frac{BF}{BD}=\frac38\)

=>\(BF=16\cdot\frac38=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

DE+EF+FB=DB

=>EF=16-4-6=12-6=6(cm)

+) Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC => AD // BF (tính chất hbh)

Xét ΔBEF và ΔDEA có:

B E F ^ = D E A ^ (hai góc đối đỉnh)

F B E ^ = A D E ^ (cặp góc so le trong bằng nhau)

=> ΔBEF ~ ΔDEA (g - g) nên A sai

+) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // DC => AB // DF

Xét ΔDGE và ΔBAE ta có:

D E G ^ = B E A ^ (2 góc đối đỉnh)

A B E ^ = G D E ^ (cặp góc so le trong bằng nhau)

=> ΔDGE ~ ΔBAE (g - g) nên B sai

+) Vì ΔBEF ~ ΔDEA nên E F E A = B E D E  (1)

Vì ΔDGE ~ ΔBAE nên A E G E = B E D E  (2)

Từ (1) và (2) ta có: E F E A = A E G E ⇔   A E 2 = GE.EF nên C đúng

Đáp án: C

Dễ thấy rằng \(\dfrac{DG}{DC}=\dfrac{1}{3}\) và \(\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

Ta thấy \(\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{DG}{AB}=\dfrac{DG}{CD}=\dfrac{1}{3}\) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{BD}=\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow DE=\dfrac{1}{4}BD=\dfrac{1}{4}.24=6\left(cm\right)\)

Mặt khác \(\dfrac{FB}{FD}=\dfrac{BK}{AD}=\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{3}{5}\) \(\Rightarrow\dfrac{FB}{BD}=\dfrac{3}{8}\) \(\Rightarrow FB=\dfrac{3}{8}BD=\dfrac{3}{8}.24=9\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow EF=BD-DE-FB=24-6-9=9\left(cm\right)\)

Vậy \(DE=6cm;EF=FB=9cm\)

a: Xét ΔEAD và ΔEKB có

\(\hat{EAD}=\hat{EKB}\) (hai góc so le trong, AD//KB)

\(\hat{AED}=\hat{KEB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEAD~ΔEKB

=>\(\frac{EA}{EK}=\frac{ED}{EB}\) (1)

Xét ΔEDG và ΔEBA có

\(\hat{EDG}=\hat{EBA}\) (hai góc so le trong, DG//AB)

\(\hat{DEG}=\hat{BEA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEDG~ΔEBA

=>\(\frac{ED}{EB}=\frac{EG}{EA}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EA}{EK}=\frac{EG}{EA}\)

=>\(EA^2=EK\cdot EG\)

\(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AK}=\frac{AG+AK}{AG\cdot AK}\)

\(=\frac{AE+EG+AE+EK}{\left(AE+EG\right)\left(AE+EK\right)}=\frac{2\cdot AE+EG+EK}{AE^2+AE\cdot\left(EK+EG\right)+EG\cdot EK}\)

\(=\frac{2\cdot AE+EG+EK}{2\cdot AE^2+AE\left(EK+EG\right)}=\frac{2\cdot AE+EG+EK}{AE\left(2\cdot AE+EK+EG\right)}=\frac{1}{AE}\)