Bài 1.     Cho tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia CB lấy  điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: \(DI=\frac{DE}{3}\).

\(DI=\frac{DE}{3}\)

Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo, E và F thứ tự là trung điểm của OD và OB.  

          1) Chứng minh: Tứ giác AECF là hình bình hành.

          2) Tia AE cắt CD tại K, gọi H là trung điểm của KC. Chứng minh OH // CF.

3) Chứng minh: CF = 3EK.      

 Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Gọi D, E lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống MN và MP.

a) Chứng minh tứ giác MDHE là hình chữ nhật.

b) Gọi A là trung điểm của HP. Chứng minh góc AHE = góc AEH.

c) Chứng minh tam giác DEA vuông.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H. Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N.

a)      Tứ giác ABDM là hình gì ? vì sao ?

b)     Chứng minh M là trực tâm của tam giác ACD.

c)      Gọi I là trung điểm của MC, chứng minh HNI=90

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, có AM, BN, CP là các trung tuyến. Qua N kẻ đường thẳng song song với CP cắt BC ở F. Các đường thẳng kẻ qua F song song với BN và kẻ qua B song song với CP cắt nhau ở D.

a)      Tứ giác CPNF là hình gì ? vì sao ?

b)     Chứng minh rằng BDFN là hình bình hành.

c)      Chứng minh PNCD là hình thang.

d)     Chứng minh AM = DN.

Xét hai hình bình hành MNBA và MNCB.

a) Chứng minh A, B, C là ba điểm thẳng hàng;

b) Chứng minh B là trung điểm của AC;

c) Hỏi tam giác MAB thoả mãn điều kiện gì để MNCA là một hình thang cân?

d) Lấy điểm D để tứ giác MNDC là hình bình hành. Hỏi tam giác MAB thoả mãn điều kiện gì để MNDA là một hình thang cân?

Xét hai hình bình hành MNBA và MNCB.

a) Chứng minh A, B, C là ba điểm thẳng hàng;

b) Chứng minh B là trung điểm của AC;

c) Hỏi tam giác MAB thoả mãn điều kiện gì để MNCA là một hình thang cân?

d) Lấy điểm D để tứ giác MNDC là hình bình hành. Hỏi tam giác MAB thoả mãn điều kiện gì để MNDA là một hình thang cân?

Bài 3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG.

a) Chứng minh tứ giác MNDE là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNDE là hình chữ nhật, là hình thoi.

c) Chứng minh DE + MN = BC

Bài 3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG.

a) Chứng minh tứ giác MNDE là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNDE là hình chữ nhật, là hình thoi.

c) Chứng minh DE + MN = BC

Bài 1.     Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EB. Gọi I là giao điểm của AM với CD. Chứng minh: AI = IM.