Vì AE=CF và AE//CF (AB//CD do hbh ABCD) nên AECF là hbh

\(\left\{{}\begin{matrix}AE=CF\\AM=CN\\\widehat{A}=\widehat{C}\left(hbh.ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AME=\Delta CNF\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow ME=NF\left(4\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AE=CF\\AB=CD\end{matrix}\right.\Rightarrow AB-AE=CD-CF\Rightarrow BE=DF\left(1\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AM=CN\\AD=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow AD-AM=CN-BC\Rightarrow DM=BN\left(2\right)\)

ABCD là hbh nên \(\widehat{B}=\widehat{D}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\Delta DMN=\Delta BFE\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow MN=EF\left(5\right)\)

(4)(5) suy ra MENF là hbh

Ta có; AE+EB=AB

CF+FD=CD

mà AE=CF và AB=CD

nên EB=FD

Ta có; AH+HD=AD

CG+GB=CB

mà HD=GB và AD=CB

nên AH=CG

Xét ΔEAH và ΔFCG có

EA=FC

\(\hat{EAH}=\hat{FCG}\) (ABCD là hình bình hành)

AH=CG

Do đó: ΔEAH=ΔFCG

=>EH=FG

Xét ΔEBG và ΔFDH có

EB=FD

\(\hat{EBG}=\hat{FDH}\) (ABCD là hình bình hành)

BG=DH

Do đó: ΔEBG=ΔFDH

=>EG=FH

Xét tứ giác EHFG có

EH=FG

EG=FH

Do đó: EHFG là hình bình hành

A B C D E F M N O

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD

Xét \(\Delta\)AOE và \(\Delta\)COF có:AO=OC ( vì ABCD là hình bình hành ),CF=AE ( giả thiết ),^AOE=^COF ( đối đỉnh )

a

Vì vậy \(\Delta AOE=\Delta COF\left(c.g.c\right)\Rightarrow OE=OF\left(1\right)\)

Xét \(\Delta\)BON và \(\Delta\)DOM có:OB=OD ( vì ABCD là hình bình hành ),MD=BN ( vì AM=CN ),^MOD=^NOB ( đối đỉnh )

Vì vậy \(\Delta BON=\Delta COM\left(c.g.c\right)\Rightarrow OM=ON\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành.

b

Hình bình hành EMFN có O là giao điểm của 2 đường chéo,tứ giác ABCD có O là giao điểm của 2 đường chéo.

=> ĐPCM

P/S:Mik ko chắc lắm đâu nha,nhất là câu b ý:p

a: BG+GC=BC

DH+HA=DA

mà BC=DA và BG=DH

nên CG=AH

Xét tứ giác AHCG có

AH//CG

AH=CG

Do đó: AHCG là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AHCG là hình bình hành

=>AC cắt HG tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của GH

=>G,O,H thẳng hàng

c: Xét ΔOAE và ΔOCF có

\(\hat{OAE}=\hat{OCF}\) (hai góc so le trong, AE//CF)

OA=OC

\(\hat{AOE}=\hat{COF}\) (hai góc đối đỉnh)

DO đó: ΔOAE=ΔOCF
=>OE=OF

=>O là trung điểm của EF

Xét tứ giác EGFH có

O là trung điểm chung của EF và GH

=>EGFH là hình bình hành

em gửi bài qua fb thầy chữa cho nhé, tìm fb của thầy bằng sđt: 0975705122 nhé.

Xét ∆ ADE và  ∆ DCF:

AD = DC (gt)

∠ A = ∠ D = 90 °

DE = CF (gt)

Do đó:  ∆ ADE =  ∆ DCF (c.g.c)

⇒ AE = DF

∠ (EAD) =  ∠ (FDC)

∠ (EAD) +  ∠ (DEA) =  90 °  (vì ΔADE vuông tại A)

⇒ ∠ (FDC) +  ∠ (DEA) =  90 °

Gọi I là giao điểm của AE và DF.

Suy ra:  ∠ (IDE) +  ∠ (DEI) =  90 °

Trong  ∆ DEI ta có:  ∠ (DIE) =  180 °  – ( ∠ (IDE) +  ∠ (DEI) ) =  180 °  –  90 °  =  90 °

Suy ra: AE ⊥ DF

S_EFGH = S_ABCD - S_BGF - S_GCH - S_AEHD

Là các hình tam giác vuông và hình thang vuông, dễ dàng tìm được hàm diện tích của EFGH theo x: -2x² + 32.5x

Nếu được thì đạo hàm là tìm được giá trị x mà S max.