\(\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\) (đpcm)

Ta có: \(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{MN}\)

\(=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{CD}\)

Ta có: \(3\cdot\overrightarrow{AB}+4\cdot\overrightarrow{CD}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{DC}-4\cdot\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}\)

Do đó: \(3\cdot\overrightarrow{AB}+4\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{MN}\)

a: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CB}<>\overrightarrow{AB}\)

=>Sai

b: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\)

mà \(\overrightarrow{AC}<>\overrightarrow{DB}\)

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}<>\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\)

=>Sai

c: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>Đúng

TA có: \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)

\(BN=NC=\frac{BC}{2}\)

mà AD=BC

nên AM=MD=BN=NC

ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của MN

=>\(\overrightarrow{MN}=2\cdot\overrightarrow{ON}\)

Xét tứ giác ABNM có

AM//BN

AM=BN

Do đó: ABNM là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN}=2\cdot\overrightarrow{ON}\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>\(\overrightarrow{DC}=2\cdot\overrightarrow{ON}\)

xét tứ giác AECF: có AE = FC và AE//FC => AECF là hình bình hành => AF//CE

xét △DNC: có F là trung điểm của DC và FM//CN (đường tb) => M là trung điểm của DN => vtDM = vtMN (1)

xét △BMA: có E là trung điểm của AB và NE//AM ( đường tb) => N là trung điểm của MB => BM=MN (2)

từ (1) và (2) suy ra : DM=MN=NB => vtDM = vtMN = vtNB ( cùng hướng, cùng độ lớn)

A B C D E M N F

a: Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình của ΔBAC

=>EF//AC và \(EF=\frac{AC}{2}\)

=>\(\overrightarrow{EF};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương(1)

Xét ΔDAC có

N,M lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>NM là đường trung bình của ΔDAC
=>NM//AC và \(NM=\frac{AC}{2}\)

=>\(\overrightarrow{NM};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{NM};\overrightarrow{EF};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương

b: EF//AC

NM//AC

Do đó: EF//NM

\(EF=\frac{AC}{2}\)

\(NM=\frac{AC}{2}\)

Do đó: EF=NM

Xét tứ giác EFMN có

EF//MN

EF=MN

Do đó: EFMN là hình bình hành

Ta có:

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{IG}+4\overrightarrow{IC}\)

          \(=6\overrightarrow{MI}\)

\(\Rightarrow M,I,N\) thẳng hàng