a: AQ là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAQ}=\hat{DAQ}=\frac12\cdot\hat{BAD}\)

BP là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABP}=\hat{CBP}=\frac12\cdot\hat{ABC}\)

DQ là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADQ}=\hat{CDQ}=\frac12\cdot\hat{ADC}\)

\(\hat{QAD}+\hat{QDA}=\frac12\left(\hat{BAD}+\hat{ADC}\right)=\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>ΔQAD vuông tại Q

=>QA⊥QD

=>AP⊥QD

Ta có: \(\hat{PAB}+\hat{PBA}\)

\(=\frac12\left(\hat{BAD}+\hat{ABC}\right)=\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>ΔPAB vuông tại P

=>AP⊥PB

mà AP⊥DQ

nên BP//DQ

b: ΔQAD vuông tại Q

=>\(\hat{AQD}=90^0\)

=>AP⊥DM tại Q

Ta có: CN là phân giác của góc BCD

=>\(\hat{BCN}=\hat{DCN}=\frac12\cdot\hat{BCD}\)

\(\hat{MCD}+\hat{MDC}=\frac12\left(\hat{ADC}+\hat{BCD}\right)=\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>ΔMDC vuông tại M

=>\(\hat{DMC}=90^0\)

Xét tứ giác MNPQ có \(\hat{QMN}=\hat{QPN}=\hat{MQP}=90^0\)

nên MNPQ là hình chữ nhật

a: Ta có:DQ là phân giác của \(\hat{ADC}\)

=>\(\hat{ADQ}=\hat{CDQ}=\frac12\cdot\hat{ADC}\)

AP là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAP}=\hat{DAP}=\frac12\cdot\hat{BAD}\)

Ta có: BP là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABP}=\hat{CBP}=\frac12\cdot\hat{ABC}\)

\(\hat{PAB}+\hat{PBA}=\frac12\left(\hat{BAD}+\hat{ABC}\right)=\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>PA⊥PB

\(\hat{QAD}+\hat{QDA}=\frac12\cdot\left(\hat{BAD}+\hat{ADC}\right)=\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>ΔQAD vuông tại Q

=>QA⊥QD

=>QD⊥PA

mà PA⊥PB

nên QD//PB

Hình vẽ minh họa, sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.

 Chứng minh cho M là trực tâm của tam giác RPD

a) từ I kẻ HI//AB//DC

=> GÓC HID= GÓC IDC ( SLT)

MÀ IDC=IDH => GÓC HID=GÓC IDH => TAM GIÁC HID CÂN TẠI H => HD=HI

TƯƠNG TỰ CHỨNG MINH TAM GIÁC HIA CÂN TẠI H => HI=HA

=> HA=HD => H LÀ TRUNG ĐIỂM AD

MÀ HI//AC//CD => I PHẢI LÀ TRUNG ĐIỂM BC

=> HI LÀ ĐTB CỦA HÌNH THANG

=> HI= (AB+CD)/2 (1)

MẶT KHÁC TRONG TAM GIÁC IAD: 

GÓC ADI + GÓC IDA=1/2 GÓC A +1/2 GÓC D=1/2 (A+D)=1/2 180=90 ( ABCD LÀ HÌNH THANG => A+D=180)

=> TAM GIÁC ADI VUÔNG TẠI I. HI LÀ TRUNG TUYẾN => HI=AD/2 (2)

TỪ (1;2) => ĐPCM

B) GỌI PG GÓC A CẮT PG GÓC D TẠI I

TỪ I TA KẺ HI//AB//CD (H THUỘC AD) 

=> .... ( ĐẾN ĐÂY C/M NHƯ TRÊN ĐỂ => H LÀ TĐ CỦA AD, TAM GIÁC ADI VUÔNG)

=> HI= AD/2.

TA CÓ: AD=AB+CD => HI=AB+CD/2 HAY HI= NỬA TỔNG 2 ĐÁY

H LÀ TRUNG ĐIỂM AD, HI//AB//CD. HI = NỬA TỔNG HAI ĐÁY => I PHẢI LÀ TRUNG ĐIỂM BC => AI CẮT DI TẠI I THUỘC BC

tự kẻ hình nha

a) Vì M là trung điểm AB, PM=MQ, P,M,Q thẳng hàng=> M là trung điểm PQ

=>PQ giao AB tại trung điểm mỗi đường=> APBQ là hbh mà AB vuông góc với PQ=> APBQ là hình thoi

b) vì APBQ là hình thoi=> PB//AQ mà PB//CE=> CE//AQ (1)

ta có PQ vuông góc với AB

AC vuông góc với AB

=> AC//PQ=> EQ//AC ( PQ cắt đường thẳng // với PB tại E=> E thuộc PQ)(2)

từ (1);(2)=> ACEQ là hbh

c) 1) trong tam giác ABC có 

MN //AC( N thuộc MP)

AM=MB

=> MN là đtb của tam giác => MN=AC/2=> AC=2MN

2) Vì AC=2MN=> AC=6cm

MN là đtb=> CN=BN 

tam giác ABC vuông tại A

=> AN=BN=CN=BC/2( tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

=> BC=2AN=10cm 

vì tam giác ABC vuông tại A=> AB^2+AC^2=BC^2

=> AB^2=100-36

=> AB=8 (AB>0)

=> chu vi tam giác ABC là 6+8+10=24(cm)