+ K là trung điểm của BC nên ta có:

+ M là trung điểm AC nên ta có:

+ Lại có 

Cộng (1) với (3) ta được  ,

kết hợp với (2) ta được hệ phương trình: 

Giải hệ phương trình ta được

#zinc

Câu 4:

Áp dụng định lý Pytago

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC=2\)

Ta có:

\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=-\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2}=-\dfrac{2+4-2}{2}=-2\)

Câu 5:

Gọi M là trung điểm BC

\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Mà: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Câu 6:

\(\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=3\)

\(a^2+b^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=9\)

\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\dfrac{1^2+2^2-9}{2}=-2\)

Câu 7: 

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}\right|\)

                              \(=\left|\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=BC=a\)

AN=2NC

=>\(AN=\frac23AC\)

Xét ΔAMN có AK là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AK}=\frac12\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)\)

\(=\frac12\left(\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\overrightarrow{AC}\right)=\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\)

Xét ΔABC có

I,J lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>IJ là đường trung bình của ΔABC

=>IJ//AC và \(IJ=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔADC có

L,K lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>LK là đường trung bình của ΔADC

=>LK//AC và \(LK=\frac{AC}{2}\)

IJ//AC

LK//AC

Do đó: IJ//LK

\(IJ=\frac{AC}{2}\)

\(LK=\frac{AC}{2}\)

Do đó: IJ=LK

Xét tứ giác IJKL có

IJ//KL

IJ=KL

Do đó: IJKL là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{JL}\)

=>\(\overrightarrow{LJ}=-\overrightarrow{JI}-\overrightarrow{JK}\)

Chọn C.

+ Ta có  ( quy tắc hình bình hành)

Do đó: