a: Ta có: \(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AK=KB=DI=IC

Xét ΔDAI và ΔBCK có

AD=CB

\(\hat{ADI}=\hat{CBK}\)

DI=BK

Do đó: ΔDAI=ΔBCK

=>\(\hat{DAI}=\hat{BCK}\)

Xét ΔADM và ΔCBN có

\(\hat{ADM}=\hat{CBN}\) (hai góc so le trong, AD//CB)

AD=CB

\(\hat{DAM}=\hat{BCN}\)

Do đó:ΔADM=ΔCBN

b: Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

=>AI//CK

=>IM//CN

Dưới đây là lời giải siêu gọn, đúng trọng tâm cho từng ý:

Cho: Hình bình hành \(A B C D\),
\(K , I\) là trung điểm của \(A B , C D\);
\(M , N\) là giao điểm của \(A I , C K\) với đường chéo \(B D\).

a) \(A K C I\) là hình bình hành

Vì \(K , I\) là trung điểm \(A B , C D\) ⇒ \(K I \parallel A C\), \(K I = \frac{1}{2} A C\)
Tương tự \(A C \parallel K I\), hai cặp cạnh đối song song ⇒
✅ \(A K C I\) là hình bình hành.

b) \(\angle M A C = \angle N C A\) và \(I M \parallel C N\)

• \(A K C I\) là hình bình hành ⇒ \(A I \parallel C K\)
  ⇒ \(I M \parallel C N\) (do cùng cắt \(B D\))
• Tam giác \(M A C\) và \(N C A\) có chung \(A C\), hai góc bằng nhau ⇒
  ✅ \(\angle M A C = \angle N C A\)

c) \(D M = M N = N B\)

• Do \(A I , C K\) cắt nhau tại trung điểm đường chéo trong hình bình hành, chia \(B D\) thành 3 đoạn bằng nhau
  ⇒ ✅ \(D M = M N = N B\)

d) \(A C , B D , I K\) đồng quy

• \(I K\) nối trung điểm \(A B , C D\) ⇒ là đường trung bình
• Đường chéo \(A C\) cắt \(I K\) tại 1 điểm
• \(B D\) cũng cắt tại điểm đó (do đối xứng trung điểm)
  ⇒ ✅ \(A C , B D , I K\) đồng quy

Xong! Gọn – đủ – đúng 😎
Cần vẽ hình không?

a: Ta có: \(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AK=KB=DI=IC

Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

b: Ta có: AKCI là hình bình hành

=>AI//CK

=>\(\hat{IAC}=\hat{KCA}\)

=>\(\hat{MAC}=\hat{NCA}\)

AI//CK

=>IM//CN

c: Xét ΔDNC có

I là trung điểm của DC

IM//NC

Do đó: M là trung điểm của DN

=>DM=MN

Xét ΔABM có

K là trung điểm của BA

KN//AM

Do đó: N là trung điểm của BM

=>BN=NM

=>BN=NM=DM

d: Ta có: AKCI là hình bình hành

=>AC cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,KI,BD đồng quy

Công thức tính của câu hỏi này phải là: tiền mua áo+tiền mình giữ+tiền đã trả bố mẹ

Tôi nhầm lớp😓

a ) AK = 1/2 AB

CI = 1/2 CD

Mà AB //= CD nên AK //= CI suy ra

AKCI - hình bình hành

Nên AI // CK

b )  Xét t/g DNC có :

I là trung điểm CD mà IM // NC

=> IM là đường trung bình của t/g DNC

=> MD = MN    ( 1 )

Xét t/g ABM có :

K là trung điểm AB mà KN // AM

=> KN là đường trung bình của t/g ABM   ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra DM = MN = NB

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)
Suy ra \(AB\) // \(CD\), \(AD\) // \(BC\); \(AB = CD\); \(AD = BC\)
Mà \(IA = IB = \frac{{AB}}{2}\); \(KD = KC = \frac{{CD}}{2}\) (do \(I\),\(K\) là trung điểm)
Suy ra \(IA = IB = KD = KC\)
Xét tứ giác \(AKCI\) có:
\(AI = KC\) (cmt)
\(AI\) // \(KC\)
Suy ra \(AKCI\) là hình bình hành
Suy ra \(IC\) // \(AK\)
Hay \(IF\) // \(AE\)
Suy ra \(AEFI\) là hình thang
b) Vì \(ABCD\), \(AKCI\) là hình bình hành (gt)
Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\), \(BD\), \(KI\)
Suy ra \(OD = OB = \frac{1}{2}BD\) (1)
Xét tam giác \(ADC\) có hai trung tuyến \(AK\), \(DO\) cắt nhau tại \(E\)
Suy ra \(E\) là trọng tâm của tam giác
Suy ra \(ED = \frac{2}{3}DO\) (2)
Chứng minh tương tự ta có \(BF = \frac{2}{3}BO\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(ED = BF = \frac{1}{3}BD\)
Suy ra \({\rm{EF}} = \frac{1}{3}BD\)
Vậy \(DE = EF = FB\)