• Vì AECF là hình bình hành (đã chứng minh ở a), nên các cạnh đối của nó bằng nhau.
• Do đó, AF = EC. 

a: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(DF=FC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC(ABCD là hình bình hành)

nên AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác AEFD có

AE//FD

AE=FD

Do đó: AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: AEFD là hình bình hành

=>AD=FE

AECF là hình bình hành

=>AF=CE

Dưới đây là lời giải siêu gọn, đúng trọng tâm cho từng ý:

Cho: Hình bình hành \(A B C D\),
\(K , I\) là trung điểm của \(A B , C D\);
\(M , N\) là giao điểm của \(A I , C K\) với đường chéo \(B D\).

a) \(A K C I\) là hình bình hành

Vì \(K , I\) là trung điểm \(A B , C D\) ⇒ \(K I \parallel A C\), \(K I = \frac{1}{2} A C\)
Tương tự \(A C \parallel K I\), hai cặp cạnh đối song song ⇒
✅ \(A K C I\) là hình bình hành.

b) \(\angle M A C = \angle N C A\) và \(I M \parallel C N\)

• \(A K C I\) là hình bình hành ⇒ \(A I \parallel C K\)
  ⇒ \(I M \parallel C N\) (do cùng cắt \(B D\))
• Tam giác \(M A C\) và \(N C A\) có chung \(A C\), hai góc bằng nhau ⇒
  ✅ \(\angle M A C = \angle N C A\)

c) \(D M = M N = N B\)

• Do \(A I , C K\) cắt nhau tại trung điểm đường chéo trong hình bình hành, chia \(B D\) thành 3 đoạn bằng nhau
  ⇒ ✅ \(D M = M N = N B\)

d) \(A C , B D , I K\) đồng quy

• \(I K\) nối trung điểm \(A B , C D\) ⇒ là đường trung bình
• Đường chéo \(A C\) cắt \(I K\) tại 1 điểm
• \(B D\) cũng cắt tại điểm đó (do đối xứng trung điểm)
  ⇒ ✅ \(A C , B D , I K\) đồng quy

Xong! Gọn – đủ – đúng 😎
Cần vẽ hình không?

a: Ta có: \(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AK=KB=DI=IC

Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

b: Ta có: AKCI là hình bình hành

=>AI//CK

=>\(\hat{IAC}=\hat{KCA}\)

=>\(\hat{MAC}=\hat{NCA}\)

AI//CK

=>IM//CN

c: Xét ΔDNC có

I là trung điểm của DC

IM//NC

Do đó: M là trung điểm của DN

=>DM=MN

Xét ΔABM có

K là trung điểm của BA

KN//AM

Do đó: N là trung điểm của BM

=>BN=NM

=>BN=NM=DM

d: Ta có: AKCI là hình bình hành

=>AC cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,KI,BD đồng quy

a: Xét tứ giác DEBF có

BE//DF

BE=DF

Do đó: DEBF là hình bình hành

b: ta có: DEBF là hình bình hành

nên Hai đường chéo DB và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có:ABCD là hình bình hành

nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD,EF,AC đồng quy

Gọi K là trung điểm của EB

Xét ΔEAB có

M,K lần lượt là trung điểm của EA,EB

=>MK là đường trung bình của ΔEAB

=>MK//AB và \(MK=\frac{AB}{2}\)

Ta có: MK//AB

AB//CD

Do đó: MK//CD

=>MK//CN

Ta có: \(MK=\frac{AB}{2}\)

\(CN=\frac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên MK=CN

Xét tứ giác MNCK có

MK//CN

MK=CN

Do đó: MNCK là hình bình hành

=>MN//CK

ΔCBE cân tại C

mà CK là đường trung tuyến

nen CK⊥BE

mà CK//MN

nên BE⊥MN

a: Xét ΔAED vuông tại E và ΔCFB vuông tại F có

AD=CB

\(\hat{ADE}=\hat{CBF}\) (hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔAED=ΔCFB

=>AE=CF và DE=FB

Ta có: AE⊥BD

CF⊥BD

Do đó: AE//CF

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: Ta có: AE//CF

=>AK//CH

Xét tứ giác AKCH có

AK//CH

AH//CK

Do đó: AKCH là hình bình hành

=>AC cắt KH tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,KH,BD đồng quy

LOL