a: Ta có: \(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD(ABCD là hình bình hành)

nên AK=KB=DI=IC

Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

b: Xét tứ giác BKDI có

BK//DI

BI//DK

Do đó: BKDI là hình bình hành

c: AKCI là hình bình hành

=>AI//CK

=>MI//NK

BKDI là hình bình hành

=>DK//BI

=>MK//NI

Xét tứ giác MKNI có

MK//NI

MI//NK

Do đó: MKNI là hình bình hành

d: Xét tứ giác AKID có

AK//ID

AK=ID

Do đó: AKID là hình bình hành

=>AI cắt DK tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm chung của AI và DK

=>M là trung điểm của DK

Xét tứ giác BKIC có

BK//IC

BK=IC

Do đó: BKIC là hình bình hành

=>CK cắt BI tại trung điểm của mỗi đường

=>N là trung điểm chung của CK và BI

=>N là trung điểm của CK

a: Xét tứ giác DMBN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: DMBN là hình bình hành

b: Xét ΔAKB có 

M là trung điểm của AB

MH//BK

Do đó: H là trung điểm của AK

Xét ΔCHD có 

N là trung điểm của CD

NK//DH

Do đó: K là trung điểm của HC

a: Xét tứ giác BMDN có 

BM//ND

BM=ND

Do đó: BMDN là hình bình hành

Suy ra: MD//BN

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: BC=AC

BC=AD

Do đó: AC=AD

=>ΔACD cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI⊥CD

Xét ΔMID vuông tại I và ΔMIC vuông tại I có

MI chung

ID=IC

Do đó: ΔMID=ΔMIC

=>MD=MC

Xét ΔADC có

AI,DO là các đường trung tuyến

AI cắt DO tại M

Do đó: M là trọng tâm của ΔADC

=>CM cắt AD tại trung điểm K của AD

Xét ΔKCD và ΔKNA có

\(\hat{KDC}=\hat{KAN}\) (hai góc so le trong, DC//AN)

KD=KA

\(\hat{CKD}=\hat{NKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKCD=ΔKNA

=>CD=NA

Xét tứ giác ANDC có

AN//DC

AN=DC

Do đó: ANDC là hình bình hành

=>\(\hat{NDC}+\hat{ACD}=180^0\)

mà \(\hat{ADC}+\hat{BCD}=180^0\)

và \(\hat{ACD}=\hat{ADC}\) (ΔACD cân tại A)

nên \(\hat{NDC}=\hat{BCD}\)

Xét tứ giác NBCD có

NB//CD
\(\hat{NDC}=\hat{BCD}\)

Do đó: NBCD là hình thang cân

=>NC=BD

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BA

N la trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AC và MN=AC/2(1)

Xét ΔADC có

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của DC

Do đó: QP là đường trug bình

=>QP//AC và QP=AC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

hay MNPQ là hình bình hành

b: Xét tứ giác MDPB có

MB//DP

MB=DP

Do đó: MDPB là hình bình hành

c: Xét ΔCDK có

P là trung điểm của CD

PL//DK

DO đó:L là trung điểm của CK

=>CL=LK(1)

Xét ΔALB có

Mlà trung điểm của AB

MK//LB

Do đó:K là trung điểm của AL

=>AK=KL(2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=KL=LC

Xét ΔMDC có AB//CD

nên MA/MD=MB/MC(1)

Xét ΔMDK có AI//DK

nên AI/DK=MA/MD(2)

Xét ΔMKC có IB//KC

nên IB/KC=MB/MC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK

Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC

Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK

=>AI/KC=IB/DK

mà AI/DK=IB/KC

nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)

=>AI=IB

=>I là trung điểm của AB

AI/DK=BI/KC

mà AI=BI

nên DK=KC

hay K là trung điểm của CD