Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD.

Xét ΔABC có BO là trung tuyến

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2. BO ⇒ BD2 = 4. BO2

⇒ BD2 = 2.(AB2 + BC2) – AC2

⇒ BD2 + AC2 = 2.(AB2 + BC2)

⇒ m2 + n2 = 2.(a2 + b2) (ĐPCM).

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

OA² = - (1)

Thay OA = , AB = a, AD = BC = b và BD = m vào (1) ta có:
\(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2=\dfrac{b^2+a^2}{2}-\dfrac{m^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

A B C D a b n m

a: Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình của ΔBAC

=>EF//AC và \(EF=\frac{AC}{2}\)

=>\(\overrightarrow{EF};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương(1)

Xét ΔDAC có

N,M lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>NM là đường trung bình của ΔDAC
=>NM//AC và \(NM=\frac{AC}{2}\)

=>\(\overrightarrow{NM};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{NM};\overrightarrow{EF};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương

b: EF//AC

NM//AC

Do đó: EF//NM

\(EF=\frac{AC}{2}\)

\(NM=\frac{AC}{2}\)

Do đó: EF=NM

Xét tứ giác EFMN có

EF//MN

EF=MN

Do đó: EFMN là hình bình hành

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

OA² =  – 

Thay OA =  , AB = a

AD = BC = b và BD = m => dpcm

ta có \(\hept{\begin{cases}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\Rightarrow AC^2=AB^2+BC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow BD^2=BA^2+AD^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}\end{cases}}\)

mà \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\)

Do đó \(AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

a: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

O là trung điểm của AC

=>\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}=\frac12\cdot\overrightarrow{CA}\)

=>\(\overrightarrow{CO};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{OC};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AO}\) là các vecto cùng phương với vecto OA

O là trung điểm của BD

=>\(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}=\frac12\cdot\overrightarrow{BD}\)

=>Các vecto cùng chiều với \(\overrightarrow{BD}\) là \(\overrightarrow{BO};\overrightarrow{OD}\)

b: ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\)

O là trung điểm của AC

=>\(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}\)

=>\(\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}\)