A B C D O M N

a) Áp dụng Hệ quả Ta Let trong tam giác ADB có: OM // AB

=> \(\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{DB}\)  (1)

Tương tự, trong tam giác CBA có: ON // AB => \(\frac{ON}{AB}=\frac{OC}{AC}\) (2)

Mặt khác, có AB // CD => \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\Rightarrow\frac{OA}{OC}+1=\frac{OB}{OD}+1\Leftrightarrow\frac{AC}{OC}=\frac{BD}{OD}\)

=> \(\frac{OC}{AC}=\frac{OD}{DB}\)  (3)

Từ (1)(2)(3) => \(\frac{OM}{AB}=\frac{ON}{AB}\) => OM = ON

b) điều phải chứng minh <=> \(\frac{MN}{AB}+\frac{MN}{CD}=2\)

theo câu a có MN = 2.ON = 2.OM

Xét VT = \(\frac{2.OM}{AB}+\frac{2.ON}{CD}=2.\left(\frac{OM}{AB}+\frac{ON}{CD}\right)\)

Mà \(\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{DB}\)(Hệ quả ĐL ta let trong tam giác ADB)

\(\frac{ON}{CD}=\frac{OB}{DB}\) (Hệ quả ĐL ta let trong tam giác CDB)

=> VT = \(2.\left(\frac{OD}{DB}+\frac{OB}{DB}\right)=2.\frac{OD+OB}{DB}=2.\frac{DB}{DB}=2\) = VP

=> ĐPCM

c) Vì AB // CD => tam giác AOB đồng dạng với tam giác COD , tỉ số đồng dạng \(\frac{OB}{OD}\)

=> \(\frac{S_{AOB}}{S_{COD}}=\left(\frac{OB}{OD}\right)^2\Rightarrow\left(\frac{OB}{OD}\right)^2=\frac{2014^2}{2015^2}\Rightarrow\frac{OB}{OD}=\frac{2014}{2015}\)

+) Xét tam giác AOB và AOD có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD

=> \(\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}}=\frac{OB}{OD}=\frac{2014}{2015}\Rightarrow S_{AOD}=\frac{2015}{2014}.S_{AOB}=\frac{2015}{2014}.2014^2=2014.2015\)

Tương tự, \(\frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=\frac{OB}{OD}=\frac{2014}{2015}\Rightarrow S_{BOC}=\frac{2014}{2015}.S_{COD}=\frac{2014}{2015}.2015^2=2014.2015\)

Vậy \(S_{ABCD=2014^2+2014.2015+2014.2015+2015^2=\left(2014+2015\right)^2=4029^2}\) 

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Xét ΔIEM và ΔICN có

\(\hat{IEM}=\hat{ICN}\) (hai góc so le trong, EM//CD)

\(\hat{EIM}=\hat{CIN}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIEM~ΔICN
=>\(\frac{IE}{IC}=\frac{IM}{IN}\)

=>\(IE\cdot IN=IC\cdot IM\)

Xét ΔINF và ΔIMB có

\(\hat{NIF}=\hat{MIB}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\hat{INF}=\hat{IMB}\) (hai góc so le trong, NF//MB)

Do đó: ΔINF~ΔIMB

=>\(\frac{IN}{IM}=\frac{IF}{IB}\)

=>\(\frac{IC}{IE}=\frac{IF}{IB}\)

Xét ΔICF và ΔIEB có

\(\frac{IC}{IE}=\frac{IF}{IB}\)

\(\hat{CIF}=\hat{EIB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔICF~ΔIEB

=>\(\hat{ICF}=\hat{IEB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên CF//BE

TRA LOI HO TO NHE GAP LAM ROI