Bai1:

\(-2x+\frac{3}{5}\le\frac{3\left(2x-7\right)}{3}\Leftrightarrow-10x+3\le5\left(2x-7\right)\Leftrightarrow-10x+3\le10x-35\)

\(\Leftrightarrow\left(10+10\right)x\ge3+35\Rightarrow x\ge\frac{38}{20}=\frac{19}{10}\)

Bài

\(\left\{\begin{matrix}x+m-1>0\\3m-2-x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(I\right)\left\{\begin{matrix}x>1-m\\x< 3m-2\end{matrix}\right.\)

Hệ (I) có nghiệm cần m thỏa mãn:

\(1-m< 3m-2\Leftrightarrow1+2< 3m+m\Rightarrow m>\frac{3}{2}\)

Kết luận: để hệ có nghiệm cần: m>3/2

lấy pt 1-pt 2 ta có

(x-y)=(y^2-x^2)-y+x

(x-y)(1-x-y+1)=0

=>x=y or x+y=2 thay vào hệ rồi giải tiếp

sao không giải nốt đi tiếp cái gì?

ta có:

(x-y)²\(\ge\)0 \(\forall\)x,y\(\in R\)

(x-y)²= x²-2xy+y²=(x+y)²-4xy=S²-4P\(\ge\)0

vậy hệ pt có nghiệm khi S²\(\ge\)4P

Bài 1:

ĐKXĐ: \(-x^2+2x+3\ge0\)

=>\(x^2-2x-3\le0\)

=>(x-3)(x+1)<=0

=>-1<=x<=3

Đặt a=x+1

=>x=a-1

Phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\((a-1)^3 + (a-1) + 6 = 2a\sqrt{3 + 2(a-1) - (a-1)^2}\)

=>\(a^3 - 3a^2 + 4a + 4 = 2a\sqrt{4a - a^2} \quad (1)\)

\(2a\sqrt{4a-a^2}\le a^2+\left(\sqrt{4a-a^2}\right)^2=a^2+4a-a^2=4a\)

Dấu '=' xảy ra khi \(a=\sqrt{4a-a^2}\)

=>\(4a-a^2=a^2\)

=>\(2a^2-4a=0\)

=>2a(a-2)=0

=>a=0(loại) hoặc a=2(nhận)

\(\left(a-2\right)^2\cdot\left(a+1\right)>=0\forall a\) >0

=>\(\left(a^2-4a+4\right)\left(a+1\right)>=0\)

=>\(a^3+a^2-4a^2-4a+4a+4>=0\)

=>\(a^3-3a^2+4>=0\)

=>\(a^3-3a^2+4+4a\ge4a\)

Dấu '=' xảy ra khi a=2

Do đó, ta có: \(VT=a^3-3a^2+4a+4\ge4a\ge2a\sqrt{4a - a^2}=VP\)

Dấu '=' xảy ra khi a=2

=>x=a-1=2-1=1(nhận)

a) Xét \(a=0\) . Thay vào hệ phương trình ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x=5\\2x+y=b\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-2x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy khi \(a=0\) và mỗi giá trị \(b\in R\) hệ có duy nhất nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy \(a\ne0\). Khi đó hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi:
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{5}\).
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}\)\(\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\); \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{b}{5}\)\(\Leftrightarrow b=\dfrac{10}{3}\).
Vậy \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{10}{3}\right)\) thì hệ có vô số nghiệm.

b) Xét a = 0. Thay vào hệ phương trình ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2y=0\\3x-4y=b+1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{b+1+4y}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{b+1}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy khi a = 0 và với mỗi \(b\in R\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{b+1}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy \(a\ne0\). Khi đó hệ có vô số nghiệm khi:\(\dfrac{3}{a}=\dfrac{-4}{2}=\dfrac{b+1}{a}\).
\(\dfrac{3}{a}=\dfrac{-4}{2}\)\(\Rightarrow a=\dfrac{-3}{2}\); \(\dfrac{-4}{2}=\dfrac{b+1}{a}\)\(\Rightarrow b=-2a-1\)\(\Leftrightarrow b=2\).
Vậy \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{-3}{2};2\right)\) hệ có vô số nghiệm.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{7x+y}=a\ge0\\\sqrt{x+y}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-y=\dfrac{a^2-4b^2}{3}\)

Hệ trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=6\\b+\dfrac{a^2-4b^2}{3}=m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow6-a+\dfrac{a^2-4\left(6-a\right)^2}{3}=m\)

\(\Leftrightarrow-a^2+15a-42=m\)

Với \(0\le a\le6\Rightarrow-42\le-a^2+15a-42\le12\)

\(\Rightarrow-42\le m\le12\)