Giả sử hình thoi là ABCD với \(A\left(0;1\right)\)

Do tọa độ A thỏa \(x+7y-7=0\) nên đó là cạnh chứa A, ko mất tính tổng quát, giả sử đó là cạnh AB

Tọa độ A ko thỏa pt đường chéo nên đó là đường chéo BD

\(\Rightarrow\) Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+7y-7=0\\x+2y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(7;0\right)\)

Phương trình AC qua A vuông góc BD: \(2\left(x-0\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)

Tọa độ tâm I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-7=0\\2x-y+1=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow I\left(1;3\right)\)

I là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(2;5\right)\)

I là trung điểm BD \(\Rightarrow D\left(-5;-3\right)\)

Biết tọa độ các đỉnh, bạn tự viết pt các cạnh nhé

B là giao điểm của BD và AB nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-7=0\\x+7y-7=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(7;0\right)\)

Đường chéo AC qua A và vuông góc BD nên nhận (2;-1) là 1 vtpt

Phương trình AC:

\(2\left(x-0\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)

Gọi I là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow\) I là tâm hình thoi, tọa độ I thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\x+2y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;3\right)\)

I là trung điểm AC nên tọa độ C thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=2\\y_C=2y_I-y_A=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(2;5\right)\)

I là trung điểm BD nên tọa độ D thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=-5\\y_D=2y_I-y_B=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-5;6\right)\)

Vì K,H cùng thuộc BD

nên phương trình đường thẳng KH chính là phương trình đường thẳng BD

H(-1,5;2); K(1;3)

\(\overrightarrow{HK}=\left(1+1,5;3-2\right)=\left(2,5;1\right)=\left(5;2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (-2;5)

Phương trình đường thẳng BD là:

-2(x-1)+5(y-3)=0

=>-2x+2+5y-15=0

=>-2x+5y-13=0

=>2x-5y+13=0

Tọa độ điểm B là:

\(\begin{cases}2x-5y+13=0\\ 6x-7y+32=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x-5y=-13\\ 6x-7y=-32\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6x-15y=-39\\ 6x-7y=-32\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x-15y-6x+7y=-39+32\\ 2x-5y=-13\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-8y=-7\\ 2x-5y=-13\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac78\\ 2x=5y-13=5\cdot\frac78-13=\frac{35}{8}-13=\frac{35-104}{8}=\frac{-69}{8}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac78\\ x=-\frac{69}{16}\end{cases}\)

=>B(-69/16;7/8)

Đặt A(x;y)

A(x;y); K(1;3)

=>\(\overrightarrow{AK}=\left(1-x;3-y\right)\)

\(\overrightarrow{BD}\) có vecto chỉ phương là (5;2)

=>\(\left(1-x\right)\cdot5+2\left(3-y\right)=0\)

=>5-5x+6-2y=0

=>-5x-2y+11=0

=>5x+2y-11=0

=>5x+2y=11

=>15x+6y=33

A(x;y); B(-69/16;7/8)

=>\(\overrightarrow{BA}=\left(x+\frac{69}{16};y-\frac78\right)\)

BC: 6x-7y+32=0

=>Vecto pháp tuyến là (6;-7)

=>Vecto chỉ phương là (7;6)

Vì BA⊥BC nên \(7\left(x+\frac{69}{16}\right)+6\left(y-\frac78\right)=0\)

=>\(7x+\frac{483}{16}+6y-\frac{42}{8}=0\)

=>7x+6y=\(-\frac{483}{16}+\frac{42}{8}=-\frac{483}{16}+\frac{84}{16}=-\frac{399}{16}\)

=>15x+6y-7x-6y\(=33+\frac{399}{16}=\frac{927}{16}\)

=>8x=927/16

=>\(x=\frac{927}{128}\)

5x+2y=11

=>2y=11-5x

=>\(2y=11-5\cdot\frac{927}{128}=\frac{-3227}{128}\)

=>\(y=\frac{-3227}{256}\)

=>\(A\left(\frac{927}{128};\frac{-3227}{256}\right)\)