Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi E là giao điểm của PQ và AB
Ta có: MNPQ là hình bình hành
=>MN//PQ
=>\(\hat{BMN}=\hat{BEP}\) (hai góc đồng vị)
mà \(\hat{BEP}=\hat{QPD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)
nên \(\hat{BMN}=\hat{DPQ}\)
Xét ΔBMN và ΔDPQ có
\(\hat{BMN}=\hat{DPQ}\)
\(\hat{MBN}=\hat{PDQ}\) (ABCD là hình bình hành)
Do đó: ΔBMN~ΔDPQ
=>\(\frac{BM}{DP}=\frac{BN}{DQ}=\frac{MN}{PQ}=1\)
=>BM=DP; BN=DQ
Xét tứ giác BMDP có
BM//DP
BM=DP
Do đó: BMDP là hình bình hành
=>BD cắt MP tại trung điểm của mỗi đường(1)
Ta có: MNPQ là hình bình hành
=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(2)
ta có: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra BD,MP,NQ,AC đồng quy tại trung điểm của mỗi đường
hay hình bình hành MNPQ có chung tâm O với hình bình hành ABCD
a: Xét tứ giác AMCP có
AM//CP
AM=CP
Do đó: AMCP là hình bình hành
b: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
AMCP là hình bình hành
=>AC cắt MP tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MP
c: Ta có: AM+MB=AB
CP+PD=CD
mà AM=CP và AB=CD
nên BM=DP
Ta có: AQ+QD=AD
CN+NB=CB
mà QD=NB và AD=BC
nên AQ=CN
Xét ΔMAQ và ΔPCN có
MA=PC
\(\hat{MAQ}=\hat{PCN}\)
AQ=CN
Do đó: ΔMAQ=ΔPCN
=>MQ=PN
Xét ΔMBN và ΔPDQ có
MB=PD
\(\hat{MBN}=\hat{PDQ}\)
BN=DQ
Do đó: ΔMBN=ΔPDQ
=>MN=PQ
Xét tứ giác MNPQ có
MN=PQ
MQ=PN
Do đó: MNPQ là hình bình hành
d: MNPQ là hình bình hành
=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của MP
nên O là trung điểm của NQ
=>AC,BD,NQ,MP đồng quy tại O
a)
Vì BN = DQ , AD = BC => AD - DQ = BC - BN hay AQ = NC
Xét tam giác AQM và CNP có:
\(\hept{\begin{cases}AQ=CN\\AM=CP\\\widehat{QAM}=\widehat{NCP}\left(doABCDl\text{à}hbh\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta AQM=\Delta CNP\left(c.g.c\right)\Rightarrow QM=NP\)
Hoàn toàn tương tự: △MBN=△PDQ(c.g.c)⇒MN=PQ
Tứ giác MNPQMNPQ có 2 cặp cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.
=> MNPQ là hình bình hành.
b) Gọi K là giao điểm của AC và MP
Xét tam giác AKM và CKP ta có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{KAM}=\widehat{KCP}\left(slt\right)\\\widehat{KMA}=\widehat{KPC\left(slt\right)}\\\Rightarrow AM=CP\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta AKM=\Delta CKP\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow AK=CK;KM=KP\left(1\right)\)
Vì ABCDABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC,BDAC,BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tương tự, MNPQMNPQ là hình bình hành nên MP,QNMP,QN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà từ (1)(1) suy ra KK là trung điểm của AC,MPAC,MP, do đó KK cũng là trung điểm của BD,QNBD,QN
Do đó AC,BD,MP,NQAC,BD,MP,NQ đồng quy tại (trung điểm) KK.
a: Ta có: AM+MB=AB
BN+NC=BC
CP+PD=CD
DQ+QA=DA
mà AB=BC=CD=DA và AM=BN=CP=DQ
nên MB=NC=PD=QA
Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có
MA=NB
AQ=BM
Do đó: ΔMAQ=ΔNBM(1)
Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có
MB=NC
BN=CP
Do đó: ΔMBN=ΔNCP(2)
Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có
NC=PD
CP=DQ
Do đó: ΔNCP=ΔPDQ(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra ΔMAQ=ΔNBM=ΔPCN=ΔQDP
=>\(S_{MAQ}=S_{NBM}=S_{PCN}=S_{QDP}\)
b: ΔMAQ=ΔNBM
=>MQ=NM(1)
ΔNCP=ΔPDQ
=>NP=QP(2)
ΔMBN=ΔNCP
=>MN=NP(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra MN=NP=PQ=QM
=>MNPQ là hình thoi
ΔMAQ=ΔNBM
=>\(\hat{AMQ}=\hat{BNM}\)
mà \(\hat{BNM}+\hat{BMN}=90^0\)
nên \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}=90^0\)
Ta có: \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}+\hat{QMN}=180^0\)
=>\(\hat{QMN}=180^0-90^0=90^0\)
=>MNPQ là hình vuông
1: AM+MB=AB
BN+NC=BC
CP+PD=CD
QD+QA=AD
mà AB=BC=CD=AD và AM=BN=CP=QD
nên BM=CN=PD=QA
2: Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có
MA=NB
AQ=BM
Do đó: ΔMAQ=ΔNBM
=>MQ=MN(1)
Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có
MB=NC
BN=CP
Do đó: ΔMBN=ΔNCP
=>MN=NP(2)
Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có
NC=PD
CP=DQ
Do đó: ΔNCP=ΔPDQ
=>NP=PQ(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra MQ=MN=NP=PQ
ΔMAQ=ΔNBM
=>\(\widehat{AMQ}=\widehat{BNM}\)
mà \(\widehat{BNM}+\widehat{BMN}=90^0\)(ΔBMN vuông tại B)
nên \(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90^0\)
\(\widehat{AMQ}+\widehat{QMN}+\widehat{NMB}=180^0\)
=>\(90^0+\widehat{QMN}=180^0\)
=>\(\widehat{QMN}=90^0\)
Xét tứ giác MNPQ có
MN=NP=PQ=MQ
nên MNPQ là hình thoi
Hình thoi MNPQ có \(\widehat{QMN}=90^0\)
nên MNPQ là hình vuông