Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;π/4] thỏa mãn f(0)=0, ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=2$ và ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin 2xf\left(x\right)dx=\frac{1}{2}$ Tích phân ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}[1+\mathrm{f}(\mathrm{x}\left)\right]=\left[{\mathrm{f}}^{\text{'}}\right(\mathrm{x}){]}^3,\forall \mathrm{x}\in \mathrm{R}\\ \mathrm{f}\left(0\right)=-1\end{array}\right.$ Tích phân ${\int }_0^1\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;π/4] thỏa mãn $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=3,{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{f\left(x\right)}{\cos x}dx=1$ và ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left[\sin x.\tan x.f\left(x\right)\right]dx=2$ Tích phân ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng

Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f(x) + f'(x) = sinx với mọi x và f(0) = 1. Tính ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }\right).$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn f(0)=0 và  $\left|f\right(x)-f(y\left)\right|\le |\sin x-\sin y|$ với mọi $x,y\in R$. Giá trị lớn nhất của tích phân  ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\right(f\left(x\right){)}^2-f\left(x\right))dx$ bằng

Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên khoảng  $(0;+\infty )$ thỏa mãn  $\frac{2f^{\text{'}}\left(x\right)}{\left(f\right(x){)}^2}=\frac{f\left(x\right)(x+2)}{x^3}$ , $\forall x>0$ và $f\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tích phân  ${\int }_1^2\frac{1}{\left(f\right(x){)}^2}dx$ bằng

Cho hàm số R xác định và liên tục trên D thỏa mãn f(x)>3. Biết $\frac{\left(f\right(x)-3}{mx-3}$ $=\frac{m^2{x}^2-6mx+9+m}{f^2\left(x\right)-6f\left(x\right)+9+m}$ với m>0. Tính $lo{g}_{m}f\left(m\right)$?

Cho hàm số R xác định và liên tục trên D thỏa mãn f(x)>3. Biết $\frac{\left(f\right(x)-3}{mx-3}$ $=\frac{m^2{x}^2-6mx+9+m}{f^2\left(x\right)-6f\left(x\right)+9+m}$ với m>0. Tính $lo{g}_{m}f\left(m\right)$?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;2]$ và thỏa mãn  $f\left(0\right)=2$, ${\int }_0^2(2x-4).f\text{'}\left(x\right)dx=4$. Tính tích phân $I={\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$.