xét hàm số 
f(x)=\(\sqrt[4]{2x}+2\sqrt[4]{6-x}+\sqrt{2x}+2.\sqrt{6-x}\) 
D \(\in\left[0;6\right]\)

f'(x)= \(\frac{1}{2.\left(2x\right)^{\frac{3}{4}}}-\frac{1}{2.\left(6-x\right)^{\frac{3}{4}}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{\sqrt{6-x}}\)
đặt u=\(\left(2x\right)^{\frac{3}{4}}\) \(\left(u\ge0\right)\), v=\(\left(6-x\right)^{\frac{3}{4}}\) \(\left(v\ge0\right)\)  
f'(x)= \(\frac{1}{2}.\frac{\left(v^3-u^3\right)}{\left(u.v\right)^3}+\frac{v-u}{u.v}=\frac{\left(v-u\right).\left(v^2+u.v+u^2\right)}{\left(u.v\right)^3}+\frac{v-u}{u.v}=\left(v-u\right).\left(\frac{v^2+u.v+u^2}{\left(u.v\right)^3}+\frac{1}{u.v}\right)\) 

\(=\left(v-u\right).g\left(u,v\right)\) ... với g(u,v) > 0 

Vậy  f'(x) = [(√(2x) - √(6-x)] .G(x), G(x)>0 
f'(x)=0 <=> √(2x) - √(6-x) = 0 <=> x=2 
lập bảng biến thiên: 

tự vẽ 

tính f(0), f(2), f(6) 
ta được f(x)=m có 2 nghiệm 
<=> f(0) \(\le\)m < f(2) 
<=> \(2.6^{\frac{1}{4}}+2\sqrt{6}\le m< 3.2^{\frac{1}{4}}+6\) 

Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp số sau :

a) \(f\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\) và \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

b) \(f\left(x\right)=e^{\sin x}\cos x\) và \(g\left(x\right)=e^{\sin x}\)

c) \(f\left(x\right)=\sin^2\dfrac{1}{x}\) và \(g\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}\sin\dfrac{2}{x}\)

d) \(f\left(x\right)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\) và \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+2}\)

e) \(f\left(x\right)=x^2e^{\dfrac{1}{x}}\) và \(g\left(x\right)=\left(2x-2\right)e^{\dfrac{1}{x}}\)

Chứng minh rằng các hàm số \(F\left(x\right)\) và \(G\left(x\right)\) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số :

a) \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+6x+1}{2x-3}\) và \(G\left(x\right)=\dfrac{x^2+10}{2x-3}\)

b) \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin^2x}\) và \(G\left(x\right)=10+\cot^2x\)

c) \(F\left(x\right)=5+2\sin^2x\) và \(G\left(x\right)=1-\cos2x\)

1 f(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=1/2x-1 biết f(1)=2 . tính f(2)

2 cho hàm số f(x) liên tục trên R và F(x) là nguyên hàm của f(x) biết \(\int_0^9\) f(x)dx=9 và f(0)=3. tính f(9)

3 biết f(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =1/2x+1 và f(0)=1. tính giá trị f(2)

4 diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=xe^x , trúc hoành và hai đường thẳng x=-2, x=3 có công thức là

5 diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=-x^2 +4 , trục hoành và các đường thẳng x=0,x=3 là

6 diện tích giới hạn bởi đường thẳng x=0,x=\(\pi\) đồ thị hàm số cosx và trục ox la

7 công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f(x) trục ox và hai đường thẳng x=a, x=b (a<b) là

8diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x^2+3 và y=4x là

9 ính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=-x^2+2x;y=-3x

10 diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường hảng x=0,x=\(\pi\) , đồ thị hàm số y=cosx và trục ox là

11 gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x^3,y=2 và y=0 là

12 tính thể tích V của vật ròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (h) giới hạn bởi các đường y=x^2;y=\(\sqrt{x}\) quanh trục ox

13 cho phần vậy thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x=0, x-\(\frac{\pi}{3}\)cắt phần vật thể B bởi mặ phẳng vuông góc trục ox tại điểm có hoành độ x(0\(\le x\le\frac{\pi}{3}\) ta được thiết diện là mộ tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là 2x và cosx. thể tích vật thể B là

14 thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 , x= \(\pi\) biết rằng thiết diện của vật có thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục ox tại điểm có hoành độ x \(0\le x\le1\) được thiết diện là hình vuông có cạnh (x+1)

15 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng thể tích vật thể là

16 cho hai số phức z=a+bi ,\(z^,\)=c+di. hai số phức z=\(z^,\) khi

a {a=c, bi=di} B {a=d,b=c} C {a=c,b=d} D(a=b,c=d}

17cho số phức z=3-2i tim phẩn ảo của số phức liên hợp z

18 cho số phức z= 3+2i . tìm phần thực của số phức z^2

19 cho hai số phức z=1+3i ,w=2-i tim phẩn ảo của số phức u=\(\overline{z}\) .w

20 trong mặt phẳng oxy, cho điểm A(4,0),B(1;4) và C(1;-1) . GỌI G là trọng tâm tam giác ABC . Biết rằng G là biểm biểu diễn số phức z là

A z=3+3/2i B=3-3/2i C z=2-i D z=2+i

21 cho số phức thỏa (1-i)+4\(4\overline{z}\) =7-7i .Mô đun của số phức z là

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số : \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{1+\sin x}?\)

a) \(F\left(x\right)=1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

b) \(G\left(x\right)=2\tan\dfrac{x}{2}\)

c) \(H\left(x\right)=\ln\left(1+\sin x\right)\)

d) \(K\left(x\right)=2\left(1-\dfrac{1}{1+\tan\dfrac{x}{2}}\right)\)

1) Cho hàm số f(x) liên tục trên R⁺ thỏa mãn f '(x) \(\ge x+\dfrac{1}{x},\forall x\in R^+\) và f(1) = 1. CM : \(f\left(2\right)\ge\dfrac{5}{2}+ln2\).

2) Cho hàm số y = f(x) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn : \(g\left(x\right)=1+2018\int\limits^x_0f\left(t\right)dt\) , g(x) = f² (x). Tính \(\int\limits^1_0\sqrt{g\left(x\right)}dx\).

3) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1; \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=9\) và \(\int\limits^1_0x^3f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}\). Tính tích phân \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\).

Cho hàm số y= f( x)  liên tục trên R  Đồ thị của hàm số y= f’ (x)  như hình bên. Đặt g(x) = 2f(x)-(x+ 1) ² . Mệnh đề nào dưới đây đúng?